DISTRIBUCIÓN NORMAL

Variable aleatoria de la distribución normal

Una variable aleatoria continua, X, sigue una distribución normal de media μ y desviación típica σ, y se designa por N(μ, σ), si se cumplen las siguientes condiciones:

1. La variable puede tomar cualquier valor: (-∞, +∞)

2. La función de densidad, es la expresión en términos de ecuación matemática de la curva de Gauss:

Curva de la distribución normal

El campo de existencia es cualquier valor real, es decir, (-∞, +∞).

Es simétrica respecto a la media µ.

Tiene un máximo en la media µ.

Crece hasta la media µ y decrece a partir de ella.

En los puntos µ − σ y µ + σ presenta puntos de inflexión.

El eje de abscisas es una asíntota de la curva.

El área del recinto determinado por la función y el eje de abscisas es igual a la unidad.

Al ser simétrica respecto al eje que pasa por x = µ, deja un área igual a 0.5 a la izquierda y otra igual a 0.5 a la derecha.

La probabilidad equivale al área encerrada bajo la curva.

p(μ - σ < X ≤ μ + σ) = 0.6826 = 68.26 %

p(μ - 2σ < X ≤ μ + 2σ) = 0.954 = 95.4 %

p(μ - 3σ < X ≤ μ + 3σ) = 0.997 = 99.7 %

N(0, 1)

La distribución normal estándar, o tipificada o reducida, es aquella que tiene por media el valor cero, μ = 0, y por desviación típica la unidad, σ =1.

Su función de densidad es:

Su gráfica es:

La probabilidad de la variable X dependerá del área del recinto sombreado en la figura. Y para calcularla utilizaremos una tabla.

Tipificación de la variable

Para poder utilizar la tabla tenemos que transformar la variable X que sigue una distribución N(μ, σ) en otra variable Z que siga una distribución N(0, 1).

Tabla de la curva normal (0, 1)

La tabla nos da las probabilidades de P(z ≤ k), siendo z la variable tipificada.

Estas probabilidades nos dan la función de distribución Φ(k).

Φ(k) = P(z ≤ k)

Búsqueda en la tabla de valor de k

Unidades y décimas en la columna de la izquierda.

Céntesimas en la fila de arriba.

P(Z ≤ a)

P(Z ≤ 1.47) = 0.9292

P(Z > a) = 1 - P(Z ≤ a)

P(Z > 1.47) = 1 − P(Z ≤ 1.47) = 1 − 0.9292 = 0.0708

P(Z ≤ −a) = 1 − P(Z ≤ a)

P(Z ≤ −1.47) = 1 − P(Z ≤ 1.47) = 1 − 0.9292 = 0.0708

P(Z > −a) = P(Z ≤ a)

p(Z > 1.47) = p(Z ≤ 1.47) = 0.9292

P(a < Z ≤ b ) = P(Z ≤ b) − P(Z ≤ a)

P( 0.45 <Z ≤ 1.47) = P(Z ≤ 1.47) − P(Z ≤ 0.45) =

= 0.9292 − 0.6736 = 0.2556

P(−b < Z ≤ −a ) = P(a < Z ≤ b )

P(−1.47 <Z ≤ − 0.45) = P( 0.45 <Z ≤ 1.47) =

= P(Z ≤ 1.47) − P(Z ≤ 0.45) = 0.9292 − 0.6736 = 0.2556

P(−a < Z ≤ b ) = P(Z ≤ b) − [ 1 − P(Z ≤ a)]

P(-1.47 < Z ≤ 0.45) = P(Z ≤ 0.45) − [ 1 − P(Z ≤ 1.47)]=

= 0.6736 − (1 − 0.9292) = 0.6028

p = K

Nos encontramos con el caso inverso a los anteriores, conocemos el valor de la probabilidad y se trata de hallar el valor de la abscisa. Ahora tenemos que buscar en la tabla el valor que más se aproxime a K.

p = 0.75Z ≤ 0.68

Para calcular la variable X nos vamos a la fórmula de la tipificación.

(X - μ)/σ = 0.68X = μ + 0.68 σ

Aproximación de la binomial por la normal

Teorema de Moivre

Si:

n·p ≥ 0 y n·q ≥ 0.

La distribución binomial B(n, p) se puede aproximar mediante una distribución normal:

Ejemplo

En una ciudad una de cada tres familias posee teléfono. Si se eligen al azar 90 familias, calcular la probabilidad de que entre ellas haya por lo menos 30 tengan teléfono.