INFERENCIA ESTADÍSTICA
INTRODUCCIÓN.
El
empleo de encuestas es uno de los métodos de investigación más utilizados en la
actualidad. La realidad, en continuo cambio y con muchísimas opciones
diferentes, es muy difícil de abarcar en su totalidad. Por este motivo se hace
necesario seleccionar una parte lo más pequeña posible, pero representativa del
total, en la que sea posible medir las características deseadas. Esta necesidad
ha obligado a crear un instrumento matemático que llamamos muestreo.
Las
muestras que se elijan para hacer un estudio deben ser lo más pequeñas posible
por exigencias de tiempo y coste. Además, el aumento del número de datos no
siempre acarrea una mayor certeza, ya que más importante que escoger muchos
datos es que los datos estén bien seleccionados, con el fin de que sean
representativos de la población que se desea estudiar. Se verá como el azar
juega un papel importante en la elección de la muestra para que ésta sea
representativa.
En este tema
estudiaremos dos parámetros de una población: la media de una determinada
característica numérica y la proporción o porcentaje de la población que
comparte un determinado rasgo común.
La inferencia estadística se basa en
resultados de la teoría de la probabilidad, los cuales nos aseguran, que al
estudiar la media o la proporción de muestras, tomadas adecuadamente en la
población, estas características serán muy similares a las de la población
total.
El método de inferencia estadística
hace estimaciones de lo que ocurre en toda la población estudiando lo que
ocurre en una parte de la misma (la muestra). Como se pretende sacar
conclusiones sobre el total de la población a partir de una muestra de la
misma, estas conclusiones estarán sujetas a error. La teoría de la probabilidad
permite también acompañar a la estimación muestral de una media o de una
proporción, en una población, de la probabilidad de que el error cometido no
exceda de un determinado valor, o del riesgo (probabilidad de equivocación) que
se corre al aceptar o al rechazar una hipótesis sobre los valores de la media o
de la proporción de la población.
Ahora bien, la inferencia se hace a
partir de muestras que deben estar debidamente escogidas. Por esta razón
trataremos previamente a los métodos de la inferencia, las técnicas de
muestreo, es decir, las diversas formas de poder seleccionar una muestra que
sea adecuada para realizar las inferencias, controlando el posible error.
Para trabajar este tema se necesita
el manejo de los números combinatorios como herramienta de cálculo y el
conocimiento y uso de la distribución normal y sus propiedades.
Finalmente, insistir en la
importancia de la inferencia estadística como disciplina fundamental en todas
las áreas científicas, tanto naturales como sociales.
POBLACIÓN Y MUESTRA.
En
el campo de la Estadística
el concepto de población se encuentra próximo a la noción general de grupo o
conjunto.
Definición.
POBLACIÓN.
Se llama población o universo a cualquier conjunto, colectivo o colección finita
o infinita de individuos o elementos.
Una población puede ser, no sólo un conjunto de personas, sino también
un conjunto de animales, objetos, fenómenos, medidas, .....
Ejemplo:
Si pasamos un test a todos los alumnos españoles de una determinada
edad, los resultados obtenidos constituyen una población de medidas de la
capacidad a la que se derige el test.
Definición.
CENSO.
Se da el nombre de censo a la enumeración y anotación de ciertas
características de todos los elementos de una población.
Ejemplo:
El profesor-tutor de un grupo de un
instituto realiza un listado de los alumnos/as de su tutoría, en la incluye,
nombre y apellidos, nombre de los padres, domicilio, teléfono, número de
hermanos y asignaturas pendientes del
curso anterior. Este sería un ejemplo de censo de la población formada por el
alumnado del grupo en cuestión.
Las poblaciones en Estadística
pueden ser finitas o infinitas. Una población es finita cuando consta de un
número limitado de unidades, y una población es infinita cuando su tamaño es
indefinidamente grande.
Ejemplo:
-
Si consideramos el número
de hermanos que tienen los alumnos/as de un curso de un instituto determinado,
estaríamos hablando de una población finita. Habría tantos valores como
alumnos/as haya en dicho curso.
-
Si obtenemos una serie de
medidas del tiempo que tarda un alumno en resolver una división de dos cifras,
estas medidas pueden consideradas parte de un conjunto mucho mayor, de tamaño
indefinidamente grande, constituido por todas las medidas que obtendríamos si
repitiésemos la experiencia una y otra vez.
-
Supongamos que se lanza un
dado en reiteradas ocasiones, y anotamos el valor de la cara superior. Tal
experiencia puede ser repetidamente hasta el infinito, por lo que cualquier
conjunto de resultados podría ser considerado una parte extraída de una
población indefinidamente grande.
En definitiva, con frecuencia, las poblaciones en Estadística suelen
ser consideradas infinitas.
El gran tamaño que presentan algunas poblaciones es precisamente la
principal razón que hace recomendable reducir su estudio a muestras obtenidas
de ellas.
Definición.
MUESTRA.
Se define muestra
como una parte o subconjunto de una población, debidamente elegida, que se
somete a observación científica en representación de la misma, con el propósito
de obtener resultados válidos para el total de la población.
Para que una muestra se considere
válida debe cumplir que:
·
Su tamaño sea proporcional
al tamaño de la población.
·
No haya distorsión en la
elección de los elementos de la muestra.
·
Sea representativa.
Un estudio
exhaustivo cuyos datos se utilizan para multitud de trabajos e investigaciones
es el Censo de Población. Requiere un gran esfuerzo tanto económico como de
medios y en él se recaba información de todos los habitantes de un país. Sin
embargo, para el conocimiento de algunas características de la población, se
utilizan métodos alternativos que reducen el costo y el tiempo. Los modelos
reducidos de la población, constituidos por las muestras, tienen como finalidad
obtener resultados que puedan ser aplicables (extrapolables) a la población.
Las principales razones que inducen
a tomar muestras son:
a)
El coste temporal. Estudiar una población de tamaño considerable exige una dedicación de
tiempo que retrasaría enormemente las investigaciones en marcha y prolongaría
en exceso la realización de los estudios. A veces, esto último podría entrar
además en conflicto con el carácter vivo, cambiante, en continua evolución de
las realidades que ocupan el interés de los investigadores en el campo de las
ciencias sociales, cuyo estudio desde una perspectiva sincrónica, requiere la
concreción en segmentos temporales limitados. Por ejemplo, si queremos saber
cómo ha afectado a la intención de voto de los españoles determinadas
declaraciones de un destacado líder político no disponemos de un tiempo
indefinido, porque otros hechos o declaraciones posteriores influirían en las
opiniones y tendencias de la población. En este caso, sería necesario recurrir
a un muestreo que permita abordar el estudio con un bajo coste temporal.
b)
El coste económico. La inversión en recursos
temporales y humanos necesaria para abordar algunos problemas de investigación
sería elevada si pretendiéramos abarcar a la población. La recogida de los
datos que posteriormente van a ser analizados estadísticamente requiere
desplegar estrategias que exigen disponer de recursos. El envío de
cuestionarios por correo, la realización de entrevistas por parte de personas
especializadas, el desplazamiento de observadores a los lugares estudiados,
etc., suponen un coste económico que queda reducido si nos limitamos al estudio
de una muestra extraída de la población.
c)
El impacto sobre la
realidad estudiada. Cuando el estudio
realizado pudiera provocar efectos en los sujetos, parece adecuado limitar la
realización de experimentos a ámbitos reducidos. Por ejemplo, la medición de
los resultados de un nuevo método de aprendizaje de la lectura habría de
hacerse sobre un número reducido de alumnos, sin extender a toda la población
la nueva metodología hasta no confirmar los resultados positivos de la misma.
d)
Una población homogénea. Si la población es homogénea se pueden obtener muy buenos resultados
a partir de cualquier muestra.
e)
La falta de personal. Si no se dispone de suficiente personal preparado para llevar a cabo
un estudio exhaustivo, también resulta aconsejables hacer un muestreo.
Por otro lado, el uso del muestreo presenta limitaciones, entre estas
destacamos:
a)
El riesgo que supone la
toma de una muestra que pueda no ser representativa.
b)
Cuando es necesaria
información de todos los elementos de la población.
c)
Cuando no se domina bien
la técnica de muestreo.
d)
Cuando la población esté
formada por un número muy pequeño de elementos, ya que una ligera equivocación
en la toma de la muestra puede originar grandes errores.
Para el investigador tienen
especial interés las muestras en la medida en que permiten generalizar los
resultados de un estudio a las poblaciones de las que fueron extraídas. Para
que ello sea posible es necesario que el muestreo se realice siguiendo determinados
procedimientos que garanticen la representatividad de la muestra y, por tanto,
las posibilidades de generalización.
PARÁMETRO Y
ESTIMADOR DE UN PARÁMETRO.
La Estadística Descriptiva
se ocupa del estudio de series de puntuaciones, para las cuales se calculan las
medias, varianza, desviación típica, etc.
Definición.
PARÁMETRO.
Se denomina parámetro
a todo valor que sirva para describir un conjunto de datos.
Ejemplo:
Supongamos que tenemos la estatura,
medida en centímetros, de un grupo de diez jóvenes: {170, 172, 180, 175, 178,
194, 178, 165, 170, 178}. La estatura media es de 176 centímetros y
la desviación típica es (aproximadamente) de 7.5 centímetros. La
media y la desviación típica son valores que describen al conjunto de
estaturas, y serían ejemplos de parámetros.
En cambio, en la Estadística Inferencial
se estudian conjuntos de puntuaciones, las muestras, con el fin de generalizar
los resultados a conjuntos de puntuaciones más amplios, las poblaciones, de las
que fueron extraídos.
Definición.
ESTADÍSTICO
Y ESTIMADOR DE UN ESTADÍSTICO.
Los valores que describen
a las poblaciones recibirán el nombre de parámetros
o estadísticos, mientras que
las medidas que describen el comportamiento de una muestra se denomina estimador del parámetro o estimador del estadístico.
Ejemplo:
A partir del valor alcanzado por la
media en una muestra podríamos intentar estimar el valor de la media de en la
población. Así, si los diez jóvenes del ejemplo anterior son alumnos/as
elegidos al azar de una escuela de baloncesto, intentaríamos deducir la
estatura media de los integrantes de dicha escuela, tomando como referencia los
176 centímetros
obtenidos.
TIPOS DE MUESTREO.
Definición.
MUESTREO.
Se llama muestreo al procedimiento
mediante el cual elegimos a las unidades estadísticas que forman la muestra,
dentro del conjunto que constituye la población.
Diremos que el
muestreo es probabilístico
cuando todos los elementos de la población poseen un probabilidad conocida (o
calculada de antemano), no nula, de ser elegidos para formar parte de la
muestra. Se contrapone al llamado muestreo no
probabilístico, en el que, o bien no se conoce la probabilidad de que
los elementos de la población sean seleccionados para la muestra, o bien para
parte de ellos esta probabilidad es nula y, por tanto, no es posible llevar a
cabo inferencias estadísticas.
Lógicamente, el muestreo que se
encuentra en la base de la mayoría de los métodos de la Estadística Inferencial
es el muestreo probabilístico. Para llevarlo a cabo es necesario que la
selección pueda considerarse como una prueba o experimento aleatorio o de azar,
de los que constituyen la base de la teoría de la probabilidad en la cual se
fundamenta la estadística matemática.
Las generalizaciones de resultados,
a partir del estudio de muestras extraídas mediante procedimientos de muestreo
no probabilístico, nos impiden conocer el margen de error con el que hacemos
las generalizaciones a la población. En cambio, el muestreo probabilítico
permite hacer inferencias sobre la población, y gracias a los procedimientos de
la Estadística
Inferencial podemos conocer el error con el que se realizan
las generalizaciones.
En las páginas siguientes, se
describen muestreos probabilísticos (muestreo aleatorio con y sin reposición,
muestreo aleatorio sistemático, muestreo estratificado, muestreo por
conglomerados, muestreo polietápico) y muestreos no probabilíticos (muestreo
intencional, por cuotas, incidental y accidental), pero antes incluiremos dos
conceptos que aparecen al referirnos al muestreo: factor o coeficiente de
elevación y fracción de muestreo.
Definiciones.
FACTOR
DE ELEVACIÓN.
Se denomina factor o coeficiente de elevación al cociente entre el tamaño de la
población y el tamaño de la muestra, . Representa el número
de elementos que hay en la población por cada elemento de la muestra.
FRACCIÓN DE MUESTREO.
Se denomina fracción de muestreo al cociente
entre el tamaño de la muestra y el
tamaño de la población, . Si se multiplica por 100, representa el porcentaje de la
población que representa la muestra.
A) MUESTREOS
PROBABILÍSTICOS.
Muestreo aleatorio
simple con y sin reposición. Se denomina
muestreo aleatorio simple a aquel en que todos los elementos de la población
tienen la misma probabilidad de formar parte de la muestra y ésta es
determinada únicamente por el azar. Se trata de un tipo de muestreo
probabilístico que permite con facilidad llevar a cabo inferencias estadísticas
y calcular la probabilidad de error asociada a las mismas.
Concretando, el muestreo aleatorio simple consiste en seleccionar n elementos con o sin reemplazamiento de
entre los N elementos que componen la
población, de tal modo que todas las muestras de tamaño n que se puedan formar tengan la misma probabilidad de ser
elegidas.
Si la muestra se selecciona sin reemplazamiento (es decir, cuando un
elemento ha sido extraído queda descartado de cara a la siguiente extracción)
se habla de muestreo aleatorio sin
reposición, también llamado muestreo
irrestrictamente aleatorio.
Si la muestra se selecciona con reemplazamiento (es decir, el elemento
elegido en cada extracción vuelve a ser incluido en la población antes de
extraer el siguiente elemento) se habla de muestreo
aleatorio con reposición, también llamado generalmente muestreo aleatorio simple.
Si bien los dos métodos son distintos, cuando el tamaño de la
población es infinito o tan grande que pueda considerarse como infinito, ambos
métodos llegan a las mismas conclusiones. Si la fracción de muestreo es mayor de 0.1 (se
muestrea más del 10 % de la población) la diferencia entre ambos métodos puede
ser apreciable, llegando a conclusiones contradictorias según se aplique un
método u otro.
Ejemplo:
En el muestreo aleatorio sin reposición, el número de muestras de
tamaño n que se pueden formar es: , y, por tanto, la probabilidad de elegir una muestra
determinada es: .
La probabilidad de que un elemento determinado de la población forme
parte de la muestra viene dada por .
En la práctica el procedimiento de muestreo aleatorio consiste en
extraer al azar los elementos que constituyen la muestra, obteniendo la muestra
unidad a unidad. Para ello, si la población es finita, se enumeran los
elementos de la población desde 1 hasta N,
y se extraen a continuación n
elementos usando una urna o un bombo. Este procedimiento, aunque sencillo,
requiere tener unos medios materiales: un bombo o una urna, papeles numerados o
bolas numeradas, etc., por lo que se suelen utilizar otras alternativas como
las tablas de números aleatorios o la generación de números aleatorios con la
calculadora.
Las tablas de números aleatorios son tablas de números colocados de
tal forma que no exista ninguna relación entre ellos sea cual sea el sentido en
que los leamos. Al final de los contenidos teóricos de este tema aparece una
tabla de números aleatorios.
Ejemplo:
Si en una población de 834 individuos
deseamos extraer una muestra de 42, asignaríamos un número a cada uno de los
834 elementos de la población. Para determinar los 42 elementos de la muestra,
marcaríamos un número en la tabla de números aleatorios al azar y a partir de
éste leeríamos en dicha tabla números de tres dígitos en cualquier dirección,
desestimando los que superen 834.
También podríamos encontrar estos 42
números generando números de forma aleatoria con la calculadora. Así:
-
Con la calculadora Texas
Instruments TI-92, utilizando la orden “rand(834)”, obtendríamos números entre
1 y 834.
-
Con la calculadora CASIO fx-180P, debemos utilizar la sucesión de
teclas, “INV” “(·) RAN”, y descartamos los números que superen 834.
Muestreo aleatorio
sistemático. El muestreo aleatorio sistemático
resulta ser un procedimiento más cómodo que el muestreo aleatorio, con o sin
reposición, cuando la población o la muestra que vamos a extraer son grandes.
En lugar de recurrir a papeletas, bolas, tablas de números aleatorios o
calculadora, puede determinarse la muestra eligiendo sistemáticamente, en una
relación ordenada de los individuos de la población, aquellos que se encuentren
a una distancia determinada. Suponiendo que el tamaño de la muestra es N y que la muestra que queramos extraer
constara de n individuos,
procederíamos del siguiente modo:
a)
Calculamos el coeficiente
de elevación, .
b)
Elegimos aleatoriamente un
número m comprendido entre 1 y k.
c)
Determinamos la muestra
sumándole repetidamente k al número, m, elegido.
La muestra estará constituida por los individuos:
Para
que la muestra conserve el carácter aleatorio, debemos procurar que la
ordenación de los individuos de la población no presente tendencias que hagan
recaer la elección sistemática sobre unidades que no sean representativas de la
heterogeneidad de la población.
Ejemplo:
Supongamos que queremos hacer una investigación en un instituto de 720
alumnos y alumnas, de los que queremos tomar una muestra de 80 individuos. En
primer lugar, ordenar todos los alumnos y alumnas alfabéticamente sería un buen
criterio de ordenación. Sin embargo, disponer los alumnos situando una tras
otra las listas de los alumnos/as de cada clase, en las que estos aparezcan por
orden de calificaciones, podría llevar a que se seleccionaran sistemáticamente
los alumnos/as con calificaciones altas y no los de las calificaciones bajas, o
viceversa.
Una vez ordenados adecuadamente, calculamos el coeficiente o factor de
elevación . Elegimos aleatoriamente un número entre 1 y 9 (tabla de
números aleatorios, calculadora, .....). Si el número obtenido fuese 6, los
individuos seleccionados serían:
{6, 15 (= 6+9),
24 (= 6+2 · 9), 33 (=6+3 ·
9), ........, 717 (=6+79 · 9)}
Evidentemente, k no suele ser un número entero. Si se desprecian los decimales
ocurrirá que una parte de los sujetos que se encuentran al final de la
ordenación pierden toda posibilidad de ser elegidos. Una solución podría
consistir en mantener los decimales del coeficiente k y redondear el resultado de las sumas al número entero más
próximo, una vez que se han realizado todas ellas. Otra sería, sumar
alternativamente las cantidades Ent(k) y Ent(k) +1.
Además del procedimiento que
acabamos de exponer, existen otras formas de muestreo que también se consideran
muestreos sistemáticos. Por ejemplo, para elegir una muestra de personas,
podemos seleccionar una o varias letras del abecedario y tomar como muestra
todos los sujetos cuyo apellido comience por esa(s) letra(s).
Muestreo
estratificado. El muestreo estratificado se realiza cuando queremos
garantizar cierta representatividad de la muestra respecto de alguna
característica. Para ello, en función de esa característica, dividimos la
población de tamaño N en K estratos o subpoblaciones de tamaños
respectivos y elegimos de forma
aleatoria (mediante sorteo, tablas, procedimientos sistemáticos, .....)
submuestras de tamaños en cada estrato,
asegurándonos de este modo de que todas las subpoblaciones estarán
representadas en la muestra. La muestra total será la suma de las submuestras
elegidas en cada estrato, es decir, .
Cabe diferenciar entre muestreo
estratificado con asignación proporcional o de afijación proporcional, muestreo
estratificado con asignación constante o de afijación igual y muestreo
estratificado con asignación óptima.
En el muestreo estratificado con asignación proporcional, o de afijación proporcional, se respeta
la importancia cuantitativa de cada estrato, asignando en la muestra un número
de individuos proporcional al tamaño del estrato en la población.
En el muestreo estratificado con asignación constante, o de afijación igual, todos los estratos
contribuyen a la muestra con idéntico número de individuos, con independencia
de cual sea la importancia numérica de dicho estrato.
Finalmente, se habla de muestreo estratificado con asignación
óptima cuando la contribución de cada estrato se determina a partir de
parámetros ya conocidos de la población.
Ejemplo:
Se desea extraer una muestra de 60
alumnos y alumnas de un centro escolar en el que hay 500 matriculados, de los
que 300 son niños y 200 son niñas, para estimar la estatura media.
·
Si se utiliza un muestreo
estratificado de afijación igual deberíamos seleccionar 30 niños y 30 niñas.
·
Si se utiliza un muestreo
estratificado de asignación proporcional deberíamos escoger 36 niños y 24
niñas.
·
Si conocemos la
variabilidad de la característica considerada, y sabemos que la varianza en el
caso de los alumnos es de 15
cm y en las alumnas 5 cm, la proporción de alumnos a alumnas sería
de 3 : 1, y usando un muestreo estratificado de asignación óptima, los tamaños
de las submuestras deberían ser de 45 niños y 15 niñas.
Lógicamente,
el menos recomendable de los tres tipos de muestreo estratificado es el de
asignación constante, ya que asigna el mismo tamaño a cada estrato, y como
consecuencia se favorece a los estratos de menor tamaño y perjudica a los
grandes, en cuanto a la precisión de los resultados que obtengamos.
Muestreo por conglomerados. El muestreo por conglomerados se utiliza cuando las unidades de la población presentan alguna forma de agrupamiento, que permite elegir grupos en lugar de individuos. De esta forma, el acceso a la muestra queda facilitado considerablemente, al quedar reunidos en una serie de grupos los individuos que la constituyen. Al realizar el muestreo, seleccionaríamos aleatoriamente una serie de grupos o conglomerados, tratando de reunir el número total de individuos que pretendemos incluir en la muestra. Los conglomerados deben ser lo más representativos posible de la población, es decir, deben representar la heterogeneidad de la población del estudio y ser entre sí homogéneos.
Este
procedimiento no requiere construir censos o listados completos de los
elementos de la población, que son sustituidos en este caso por los censos de
conglomerados. En realidad, el muestreo por conglomerados no es más que la
aplicación de los muestreos aleatorios con o sin reposición, sistemático o
estratificado al caso en que la unidad de muestreo no son los individuos sino
los grupos de individuos. Usando este procedimiento se evita la dispersión de
unidades a la que conducen otros tipos de muestreo, y se reducen los costes y
el tiempo de un trabajo de recogida de datos.
Cuando
los conglomerados se corresponden con zonas geográficas, y se define el
conglomerado como un área o parte bien limitada del terreno, se denomina muestreo por áreas.
Ejemplo:
Si queremos hacer un estudio sobre
la influencia de un determinado pienso en el engorde de cerdos criados en
granjas, podemos seleccionar aleatoriamente las granjas y luego dentro de ellas
estudiar los pesos de los cerdos, bien de todos los cerdos de cada granja o de
una muestra representativa de la población de cerdos de la misma.
Muestreo polietápico. En el
muestreo polietápico las unidades que finalmente componen la muestra se
determinan en etapas sucesivas. Se trata de un caso particular del muestreo por
conglomerados, en el que la unidad final no son los conglomerados sino
subdivisiones de éstos. Por tanto, será interesante aplicarlo cuando los
conglomerados contengan un elevado número de individuos y resulte aconsejable
hacer una selección entre ellos.
Si
únicamente desarrollamos dos etapas, muestreo
bietápico, el procedimiento consistiría en la selección de los
conglomerados en la primera etapa, y la selección de los individuos en la
segunda.
No
obstante, el muestreo polietápico puede extenderse a más de dos etapas dando
lugar a una selección sucesiva de unidades cada vez menores, que están
jerarquizadas de tal modo que la unidades de la primera etapa son divisibles en
unidades de la segunda etapa, éstas a su vez en unidades de la tercera etapa, y
así hasta alcanzar las unidades que finalmente constituirán la muestra. Estas
unidades finales no necesariamente han de ser los individuos.
En
cada etapa, la selección de las unidades podrá hacerse siguiendo procedimientos
de muestreo aleatorio, sistemático o estratificado.
Ejemplo:
En
el ejemplo anterior referido al estudio sobre la influencia de un determinado
pienso en el engorde de cerdos, supongamos que el estudio se realiza a nivel de
toda España. Entonces, en una primera etapa, podríamos seleccionar de forma
aleatoria una serie de provincias; en segundo lugar, en cada una de las
provincias seleccionar también aleatoriamente algunas comarcas (bien
delimitadas); posteriormente, dentro de cada comarca elegir al azar un grupo de
granjas; y finalmente, en cada una de ellas estudiar todos los cerdos o una
muestra de ellos elegida adecuadamente.
B) MUESTREOS NO
PROBABILÍSTICOS.
Muestreo
intencional u opinático. En el muestreo
intencional u opinático la representatividad depende de la intención u opinión
de la persona que selecciona la muestra, y que, según su criterio, procura que
sea representativa. Por tanto, la evaluación de la representatividad es
subjetiva. En este caso, la composición de la muestra puede estar influida por
las preferencias o tendencias, aun las inconscientes, del individuo que la
obtiene, y no sólo por factores objetivos que son los que deben tenerse en
cuenta de modo riguroso, como ocurre en el muestreo probabilístico.
Ejemplo:
Se pretende
hacer una encuesta en un instituto, entre los alumnos de 4º de E.S.O., para saber la modalidad de Bachillerato que
seguirán los que continúen estudiando. El Jefe de Estudios pregunta a unos
cuantos alumnos de cada grupo de 4º de E.S.O., con el único criterio de que
piensa que esos seguirán estudiando.
Este tipo de muestreo carece, pues, de una base teórica satisfactoria
a pesar de lo cual su uso está bastante generalizado, especialmente el llamado
muestreo por cuotas.
Muestreo por
cuotas. En el muestreo por cuotas, el investigador
establece estratos de la población, determina el número de individuos a
seleccionar en cada uno de ellos y elige intencionadamente individuos para
completar las cuotas establecidas. Se asemeja al muestreo por estratos en
cuanto que supone un conocimiento previo de la población, que permite
diferenciar segmentos o estratos dentro de la misma, pero se distancia de aquel
por el hecho de que aquí los individuos que constituyen la cuota aportada a la
muestra por cada estrato no son determinados aleatoriamente, sino en función de
otros criterios (accesibilidad, comodidad, economía, etc.). La única condición
impuesta es que los individuos cumplan los requisitos fijados en las cuotas.
Ejemplo:
El agente visitador o entrevistador recoge información de personas o
familias en número proporcional al de las que cumplen determinadas condiciones
en la población, y puede elegirlas a su arbitrio dentro de grupos establecidos
por sexo, edad o ciertos niveles socioeconómicos. Así, se podría fijar que el
15 % de la muestra ha de constar de mujeres que tengan menos de 40 años, sean
de clase media y habiten en determinado barrio, y esta sería la única condición
para seleccionar este 15 % de la muestra.
El muestreo por cuotas no es un muestreo probabilístico, y por tanto,
no permite llevar a cabo estimaciones rigurosas en las que podamos calibrar el
error cometido.
Muestreo
incidental. En el muestreo incidental el investigador determina
deliberadamente qué individuos formarán parte de la muestra, tratando de
recoger a los casos considerados típicamente representativos de la población.
Los criterios de elección suelen basarse generalmente en el conocimiento
teórico sobre el tema de estudio. Pero, en definitiva, a pesar de la posible
buena intención y conocimiento del tema y de la población que tenga el
investigador, la muestra no servirá para hacer inferencias a toda la población
ya que siempre cabe que pueda estar distorsionada por tendencias o preferencias
subconscientes o inconscientes del investigador.
Ejemplo:
Para estimar el problema de
absentismo escolar, un investigador puede seleccionar los alumnos de un centro
situado en una zona de trabajadores agrícolas temporeros que han de desplazarse
en determinadas épocas del año, los alumnos de un centro situado en una
barriada marginal de una gran ciudad y los de un centro residencial, dado que
por su conocimiento teórico del problema sabe que éstos representan los
diferentes tipos de comportamientos en relación con la asistencia a clase.
INFERENCIA
ESTADÍSTICA.
Llamamos inferencia al paso de lo particular a lo
general, no en el sentido de la inducción completa utilizada en matemáticas,
sino tal como se emplea en las ciencias de la naturaleza. Se podría decir que
es una afirmación relativa a poblaciones estadísticas, efectuada a partir de
ciertas observaciones con determinada medida de incertidumbre. Podemos
considerar como un problema crucial de la Estadística el de
“inferir la población” o afirmar algo sobre ella a partir de una muestra. Esto
equivale a basar conclusiones y/o decisiones en la ignorancia o incertidumbre
parciales.
Para que la
inferencia sea la más satisfactoria posible en una situación determinada se
emplean técnicas estadístico-matemáticas, que permiten estimar, por medio de
muestras, las características de una población, sustituyendo las conjeturas más
o menos ingeniosas por procedimientos objetivos cuya representatividad puede
medirse.
En conclusión, el
problema fundamental que trata de resolver la Inferencia estadística
es obtener de las propiedades de la muestra las de la población en estudio.
DISTRIBUCIÓN
MUESTRAL DE UN ESTADÍSTICO.
Supongamos que en una
población de tamaño N hemos atribuido
a cada elemento de la población un valor de acuerdo con determinada
característica X que hemos medido.
Podemos seleccionar una muestra de tamaño n
y calcular un estadístico, por ejemplo, la media, para los n valores seleccionados. Si volvemos a extraer muestras aleatorias
y repetimos la operación sucesivamente, lograremos reunir un número elevado de
medias.
Con las medias
obtenidas, podemos construir una distribución de frecuencias para los valores
de las medias, 
. Pues bien, a medida que aumenta el número de muestras extraídas
de tamaño n, esa distribución se
aproxima a una distribución teórica que denominaremos distribución muestral del
estadístico media.
. Pues bien, a medida que aumenta el número de muestras extraídas
de tamaño n, esa distribución se
aproxima a una distribución teórica que denominaremos distribución muestral del
estadístico media.
Definición.
DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE UN ESTADÍSTICO.
La distribución muestral de un estadístico
se define como la función de probabilidad (o función de densidad de
probabilidad) del estimador de ese estadístico. Es decir, se trata de una
función que expresa la probabilidad asociada a cada posible valor del
estadístico obtenido a partir de una muestra aleatoria de tamaño n.
Ejemplo:
Para ilustrar este concepto,
construiremos la distribución muestral del estadístico media, , cuando extraemos muestras aleatorias de tamaño 2 en una
población constituida por los valores {1, 2, 3}. La muestra estará formada por
los valores de las dos variables aleatorias: (resultado de la
primera selección) y (resultado de la
segunda elección). A su vez, la media muestral es también una variable
aleatoria, puesto que se obtiene por combinación lineal de las dos variables
aleatorias y .
Formaremos
muestras de tamaño 2 recurriendo a dos vías diferentes:
a) Procedimiento empírico.- Seleccionamos al
azar una muestra con reposición de 2 elementos y calculamos su media. Repetimos
el proceso hasta un total de 20 veces. Los resultados de este proceso podrían
ser, por ejemplo:
1
|
1
|
2
|
2
|
2
|
1
|
2
|
3
|
3
|
1
|
|
2
|
3
|
1
|
3
|
2
|
3
|
1
|
1
|
3
|
1
|
|
1.5
|
2
|
1.5
|
2.5
|
2
|
2
|
1.5
|
2
|
3
|
1
|
1
|
2
|
3
|
3
|
2
|
1
|
1
|
3
|
3
|
1
|
|
2
|
3
|
3
|
2
|
1
|
2
|
2
|
2
|
1
|
3
|
|
1.5
|
2.5
|
3
|
2.5
|
1.5
|
1.5
|
1.5
|
2.5
|
2
|
2
|
La distribución de frecuencias para los
valores de la media obtenidos quedaría tal y como muestra la siguiente tabla:
1
|
1
|
0.05
|
1.5
|
7
|
0.35
|
2
|
6
|
0.30
|
2.5
|
4
|
0.20
|
3
|
2
|
0.10
|
Así habremos construido una distribución
muestral empírica.
b) Procedimiento teórico.- Sin tener que
extraer repetidas muestras para calcular la media de los valores que las
componen, podemos construir una distribución muestral teórica, valiéndonos de
conceptos probabilísticos. Así podemos determinar las 9 muestras aleatorias
posibles con reposición a partir de la población considerada y calcular las
respectivas medias.
1
|
1
|
1
|
2
|
2
|
2
|
3
|
3
|
3
|
|
1
|
2
|
3
|
1
|
2
|
3
|
1
|
2
|
3
|
|
1
|
1.5
|
2
|
1.5
|
2
|
2.5
|
2
|
2.5
|
3
|
Teniendo en cuenta las
medias de las nueve muestras posibles, todas ellas equiprobables, puedo
construir la función de probabilidad para la variable aleatoria .
1
|
1
|
1/9 = 0.11
|
1.5
|
7
|
2/9 = 0.22
|
2
|
6
|
3/9 = 0.33
|
2.5
|
4
|
2/9 = 0.22
|
3
|
2
|
1/9 = 0.11
|
Conociendo esta distribución
muestral teórica, se tiene que la probabilidad de obtener el valor para la media de una
muestra extraída al azar de la población es , mientras que la probabilidad de obtener el valor es . Es decir, en un 11 % de los casos, la muestra tendrá como
media 1 y en un 33 % de los casos, el valor de la media de la muestra será 2.
Como afirmábamos anteriormente, la
distribución muestral empírica de un estadístico se aproxima a la distribución
muestral teórica a medida que aumenta el número de muestras extraídas. Las
frecuencias relativas obtenidas empíricamente llegan a coincidir con las
probabilidades teóricas cuando el número de muestras crece indefinidamente.
Veamos someramente otro ejemplo.
Supongamos que la población es P =
{1, 2, 3, 5} y que representa el tiempo (en horas diarias) que cada uno de un
grupo de cuatro estudiantes de la universidad dedican al estudio.
Siguiendo la misma técnica utilizada
en ejemplo anterior tenemos:
a) El conjunto de muestras de tamaño 2 de la
población P tiene 16 elementos diferentes.
Medias de las muestras de tamaño 2.
1
|
2
|
3
|
5
|
|
1
|
1
|
1.5
|
2
|
3
|
2
|
1.5
|
2
|
2.5
|
3.5
|
3
|
2
|
2.5
|
3
|
4
|
5
|
3
|
3.5
|
4
|
5
|
La
información que da la tabla anterior se puede organizar en una tabla de
distribución de frecuencias del siguiente modo:
Distribución
de medias muestrales (n = 2)
1
|
1
|
1.5
|
2
|
2
|
3
|
2.5
|
2
|
3
|
3
|
3.5
|
2
|
4
|
2
|
5
|
1
|
Hemos construído la distribución muestral
de medias de tamaño 2. Esa distribución, igual que toda distribución, tiene
gráfica de una determinada forma, una media, una desviación típica, etc.
b) El conjunto de muestras de tamaño 3 de la
población P tiene 64 elementos diferentes. Y procediendo de un modo análogo
podemos obtener la siguiente tabla:
Distribución
de medias muestrales (n = 3)
1
|
1
|
4/3
|
3
|
5/3
|
6
|
2
|
7
|
7/3
|
9
|
8/3
|
9
|
3
|
10
|
10/3
|
6
|
11/3
|
6
|
4
|
3
|
13/3
|
3
|
5
|
1
|
Así hemos construido la distribución
muestral de medias de tamaño 3.
c) Igual podemos hacer la distribución
muestral de medias de tamaño 4. En este caso hay 256 muestras diferentes.
Distribución
de medias muestrales (n = 4)
1
|
1
|
5/4
|
4
|
6/4
|
10
|
7/4
|
16
|
2
|
23
|
9/4
|
28
|
10/4
|
34
|
11/4
|
32
|
3
|
31
|
13/4
|
24
|
14/4
|
22
|
15/4
|
12
|
4
|
10
|
17/4
|
4
|
18/4
|
4
|
5
|
1
|
T=
|
256
|
En resumen, se han
construido las tres distribuciones muestrales de medias, asociadas con la
población P. Las características de la población P y de las tres distribuciones
muestrales se exponen a continuación.
Tamaño
|
Media
|
Desviación
Típica
|
|
Población
|
4
|
2.75
|
1.479016
|
Distribución
muestral de medias, n = 2
|
16
|
2.75
|
1.045825
|
Distribución
muestral de medias, n = 3
|
64
|
2.75
|
0.853912
|
Distribución
muestral de medias, n = 4
|
256
|
2.75
|
0.73509
|
Distribución de las medias de las muestras de tamaño 2.
Distribución de las medias de las muestras de tamaño 3.
Distribución
de las medias de las muestras de tamaño 4.
Al observar las gráficas anteriores se comprueba que la gráfica de la
población es uniforme y los diagramas de las distribuciones muestrales van
aproximándose a la curva normal a medida que el tamaño de las muestras se
aumenta.
También vemos que las medias de las cuatro distribuciones coinciden, y en
cambio, las desviaciones típicas disminuyen a medida que aumenta el tamaño de
las muestras.
Veamos como se relacionan la desviación típica de la población con la
desviación típica de la distribución muestral y con el tamaño de las muestras.
Los tres productos dan,
prácticamente, el mismo resultado que el valor de la desviación típica de la
población. En realidad, el producto entre la desviación típica de la
distribución muestral de las medias y la raíz cuadrada del tamaño de las
muestras es igual a la desviación típica de la población (la inexactitud de los
resultados anteriores se debe a las aproximaciones tomadas).
Lo trabajado anteriormente nos
conduce al enunciado de uno de los resultados más útiles en estadística: el
conocido como TEOREMA DEL LÍMITE CENTRAL:
TEOREMA CENTRAL DEL LÍMITE.
Existen muchos fenómenos que se
pueden considerar como una suma de una serie de efectos parciales
independientes. Y puede ocurrir que, aunque esos efectos no se ajusten a una
normal, el fenómeno resultante tienda a la distribución normal. Este resultado
conocido como Teorema central del límite, fue enunciado, por primera vez, por
Pierre Simon de Laplace (1.749 – 1.827), y fue Liapunov (1.857 – 1.917) dio en
1.901 una demostración rigurosa del teorema.
TEOREMA
CENTRAL DEL LÍMITE.
“Consideramos una
población cuya medida es m y cuya desviación típica es s. Si de esa población se extraen, al azar, todas las muestras de tamaño n, obtenidas con reposición y con orden,
se puede construir una distribución de medias muestrales, la cual tiene forma
aproximadamente normal cuando n es
suficientemente grande. Además, la media y la desviación típica
de esa distribución
muestral están relacionadas con la media y la desviación típica de la población
del siguiente modo.
”
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