DESIGUALDADES CUADRÁTICA

DESIGUALDADES CUADRÁTICA
Desigualdades Cuadraticas
Una vez factorizada la expresion del lado izquierdo podemos tener las siguientes situaciones donde ( x +R1) y (x + R2) son los factores.

a) Si la desigualdad es de tipo "mayor que" ambos factores deben ser positivos o ambos negativos para que al multiplicarlos den una cantidad positiva:

( x + R1) ( x + R2) > 0

si ( x + R1 ) > 0 y ( x + R2 ) > 0
( x + R1 ) < 0 y ( x + R2 ) < 0 b) Si la desigualdad es del tipo "menor que" los dos factores deben ser de signo contrario, o sea un negativo y otro positivo, es decir: ( x + R1) ( x + R2) > 0

si ( x + R1 ) > 0 y ( x + R2 ) < 0 ( x + R1 ) <> 0

EJERCICIOS

1)
( 2x - 1 ) (x + 3 ) ≥ 0

CASO 1
2x - 1 ≥ 0 .............................. x + 3 ≥ 0
2x ≥ 1 ....................... x ≥ - 3
x ≥ 1/2 ..........................................

CASO 2
2x - 1 ≤ 0 ........................... x + 3 ≤ 0
2x ≤ 1 ............................. x ≤ -3
x ≤ 1/2...........................................

2)
( x -1 ) ( x + 5 )
CASO 1
x - 1 ≥ 0 ............................ x + 5 ≥ 0
x ≥ 1 ............................ x ≥ -5

CASO 2
x - 1 ≤ 0 .............................. x +5 ≤ 0
x ≤ 1 .............................. x ≤ -5

3)

(3x-1) (x+9)
CASO 1
3x - 1 ≥ 0 ........................... x + 9 ≥ 0
3x ≥ 1 ............................ x ≥ -9
x ≥ 1/3...............................................

CASO 2
3x - 1 ≤ 0 ................................. x + 9 ≤ 0
3x ≤ 1 ................................. x ≤ -9
x ≤ 1/3...............................................
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DESIGUALDADES

Una igualdad es una oración matemática que contiene signo de igual. Por ejemplo:

6 + 4 = 10
x + 6 = 10


Una igualdad que tiene variable ( valor desconocido o incógnita) se llama ecuación. Por ejemplo:

x + 6 = 10

Una desigualdad es una oración matemática que contiene un signo de desigualdad. Los signos de desigualdad son:
no es igual
< menor que > mayor que
menor o igual que
mayor o igual que


Una desigualdad que tiene variable se llama inecuación. Por ejemplo:

x + 3 < 7 (La punta del signo < siempre señala el menor) Ej. 3 < 4, 4 > 3


¿Cómo resolvemos una inecuación? Para esto tenemos que observar propiedades de las desigualdades. Por ejemplo:
1 < 6 1 + 5 < 6 + 5 ¿Esto es cierto? Sí. Así que podemos sumar en ambos lados de una desigualdad y sigue cierta. Otro ejemplo: 2 < 6 2 + -9 < 6 + -9 Esto es también cierto. Sigue cierta la desigualdad al sumar en ambos lados un número negativo. Otro ejemplo con resta: 7 > 4
7 - 3 > 4 – 3

La desigualdad sigue siendo cierta al restar un número negativo.

Aquí tenemos otro ejemplo pero esta vez restando un número negativo en ambos lados de la desigualdad:
2 < 8 2 - (-3) < 8 - (-3) Restar un número es igual que sumar su opuesto 2 + 3 < 8 + 3 5 < 11 La desigualdad es cierta al restar un número negativo de ambos lados. Multiplicación con números positivos: 3 < 7 3 * 6 < 7 * 6 La desigualdad es cierta al multiplicar un números positivos en ambos lados. Multiplicación con números negativos: 4 > 1
4 • -2 > 1 • -2
-8 > -2 Falso


Nota: La desigualdad cambia en este caso, ya que -8 no es mayor que -2. En el caso que se multiplique por un número negativos en ambos lados de una desigualdad, el signo se invierte:
-8 < - 2 Ahora, la desigualdad es cierta. División con positivos: 3 < 9 3/3 < 9/3 Si dividimos ambos lados de la desigualdad por 3 1 < 3 La desigualdad es cierta. División con negativos: 4 < 12 4/-2 < 12/-2 Si dividimos ambos lados de la desigualdad por -2 -2 < -6 falso Si dividimos ambos lados de la desigualdad por -2 La desigualdad es falsa. Por lo tanto, debemos invertir el signo. -2 > -6
Ahora la desigualdad es cierta.


En resumen, se invierte el signo cuando se multiplica o se divide una desigualdad por un número negativo.

Ejemplos:
Resolver la siguiente inecuación para verificar si el número dado es solución.

Ejemplo 1: x + 3 < 6 ; x = 5 x + 3 < 6 [Ahora, se sustituye x por 5.] 5 + 3 < 6 [ Simplificar] 8 < 6 ¿ 8 es menor que 6? No. Entonces, 5 no es una solución. Ejemplo 2: x - 3 8 ; x = 11 11 - 3 8 8 8 ¿8 es mayor que 8? No, pero 8 sí es igual a 8. Así que es cierta la inecuación y podemos concluir que x = 11 es una solución. Ejemplos: Resolver la inecuación. Ejemplo 1: x + 4 < 7 Hay que resolver la inecuación x < 7 + - 4 Combinar los términos semejantes. Encontrar los valores de x. x < 3 Quiere decir, que x es menor que 3. Algunas soluciones son 2, 2.5, 2.7, 1, 0, etc. Todos los números menores que 3 son soluciones de esta inecuación. Quiere decir que el conjunto de soluciones de esta inecuación es un conjunto infinito. Ejemplo 2: x - 9 8 x 9 + 8 x 17 x es mayor o igual a 17 es la solución. Ejemplo 3: 3x < 5 Para deshacer la multiplicación de la x por 3, 3x/3 < 12/3 dividimos por 3 en ambos lados de la inecuación x < 4 Entonces, x es menor que 4 es la solución. Ejemplo 4: -2x -6 Para deshacer la multiplicación de x por -2, se -2x/-2 -6/-2 divide ambos lados de la inecuación por -2. x 3 Como el número dividido era negativo, se invierte el signo. Ejemplo 5: 3x - 1 2x + 4 Hay que combinar términos semejantes. 3x + -2x 1 + 4 Resolver. x 5 Ejemplo 6: 4x + 9 6x - 9 4x + 9 6x + - 9 4x + -6x -9 + -9 -2x/-2 -18/-2 x 9 Resolviendo Desigualdades Ejemplo: Resolver x - 3 > 2
x - 3 + 3 > 2 + 3
x + 0 > 5
x > 5

Recuerda que restar un número es igual que sumarse el opuesto.
x + -3 + 3 > 2 + 3
x + 0 > 5
x > 5
Se resuelve tal como si fuera una ecuación, pero teniendo en cuenta los signos > , < , , , . y las propiedades de la desigualdades. Ejemplo: 2x - 4 3x + 1 2x - 4 + 4 3x + 1+ 4 2x - 3x + 0 3x - 3x + 5 -x 0 + 5 x -5 Ejemplo: Resolver -2x -34. -2x -34 Al dividir ambos las por un número negativo, el signo -2 -2 de se invierte a . x 17 Ejercicios de Práctica: A. Verificar si el número dado hace cierta o falsa la ecuación 1. x > 3 ; 5
2. x + 7 2 ; -8
3. 2x + 3 7x + 1 ; 2
4. 3x - 2 x + 7 ; 1
5. 6x 18 ; 3



B. Resuelva

1. x + 7 > 9
2. 2x + 3 x + 6
3. -6x + 7 x + 9
4. -6x -72
5. 1/3x - 9 > 2/3 x + 6
6. -6x + 9 < -2x + 8 7. -2x + 8 12 Soluciones: A. 1. x > 3 ; 5
5 > 3 Esto hace cierta la ecuación

2. x + 7 2 ; -8
-8 + 7 2
-1 2 Esto no hace cierta la ecuación

3. 2x + 3 7x + 1; 2
2(2) + 3 7(2) + 1
4 + 3 14 + 1
7 15 Esto no hace cierta la ecuación

4. 3x - 2 x + 7 ; 1
3(1) - 2 1 + 7
3 - 2 1 + 7
1 8 Esto hace cierta la ecuación

5. 6x 18 ; 3
6(3) 18
18 18 Esto no hace cierta la ecuación.


B. Resuelva.
1. x + 7 > 9
x + 7 -7 > 9 - 7
x + 0 > 2
x > 2

2. 2x + 3 x + 6
2x - x + 3 x - x + 6
x + 3 - 3 0 + 6 - 3
x 3

3. -6x + 7 x + 9
-6x + -x -7 + 9
-7x/-7 2/-7
x - 2/7

4. -6x -72
-6x/-6 -72/-6
x 12

5. 1/3 x - 9 > 2/3 x + 6
1/3 x - 9 + 9 > 2/3 x + 6 + 9
1/3x - 2/3 > 2/3 x -2/3 x + 15
-1/3 x > 15
(3) (–1/3 x) > (-3) (15)
x < -45 6. - 6x + 9 < - 2x + 8 -6x + 2x < -9 + 8 -4x/-4 < -1/-4 x > 1/4

7. -2x + 8 12
-2x + 8 - 8 12 - 8
-2x/-2 4/-2
x -2
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Inecuaciones lineales con una incógnita
Se llama inecuación lineal con una incógnita a una expresión de cualquiera de los cuatro tipos siguientes:
donde
Cualquiera de los cuatro tipos de inecuaciones definidos anteriormente, admite, tras la aplicación de las transformaciones de equivalencia vistas en el apartado primero, una de las formas:

Lo que indica que las inecuaciones lineales con una incógnita admiten un número infinito de solución que suelen expresarse en forma de intervalo de números reales.
Ejemplo:
Resolver la inecuación:

Procedemos igual que si de una ecuación se tratase:
Eliminamos paréntesis:

Eliminamos denominadores, multiplicando ambos miembros por el m.c.m. de todos ellos:

Trasponemos los términos:

Reducimos términos semejantes:

Despejamos la incógnita multiplicando ambos miembros por el inverso de su coeficiente (ojo, si es negativo habrá que cambiar el sentido a la desigualdad):

La solución es el intervalo cerrado por la derecha . Es cerrado por la derecha pues el signo usado ha sido menor o igual, si hubiese sido sólo menor, sería abierto.
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