DESIGUALDADES CUADRÁTICA
Desigualdades Cuadraticas
Una vez factorizada la expresion del lado izquierdo podemos tener las siguientes situaciones donde ( x +R1) y (x + R2) son los factores.
a) Si la desigualdad es de tipo "mayor que" ambos factores deben ser positivos o ambos negativos para que al multiplicarlos den una cantidad positiva:
( x + R1) ( x + R2) > 0
si ( x + R1 ) > 0 y ( x + R2 ) > 0
( x + R1 ) < 0 y ( x + R2 ) < 0
b) Si la desigualdad es del tipo "menor que" los dos factores deben ser de signo contrario, o sea un negativo y otro positivo, es decir:
( x + R1) ( x + R2) > 0
si ( x + R1 ) > 0 y ( x + R2 ) < 0
( x + R1 ) <> 0
EJERCICIOS
1)
( 2x - 1 ) (x + 3 ) ≥ 0
CASO 1
2x - 1 ≥ 0 .............................. x + 3 ≥ 0
2x ≥ 1 ....................... x ≥ - 3
x ≥ 1/2 ..........................................
CASO 2
2x - 1 ≤ 0 ........................... x + 3 ≤ 0
2x ≤ 1 ............................. x ≤ -3
x ≤ 1/2...........................................
2)
( x -1 ) ( x + 5 )
CASO 1
x - 1 ≥ 0 ............................ x + 5 ≥ 0
x ≥ 1 ............................ x ≥ -5
CASO 2
x - 1 ≤ 0 .............................. x +5 ≤ 0
x ≤ 1 .............................. x ≤ -5
3)
(3x-1) (x+9)
CASO 1
3x - 1 ≥ 0 ........................... x + 9 ≥ 0
3x ≥ 1 ............................ x ≥ -9
x ≥ 1/3...............................................
CASO 2
3x - 1 ≤ 0 ................................. x + 9 ≤ 0
3x ≤ 1 ................................. x ≤ -9
x ≤ 1/3...............................................
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DESIGUALDADES
Una igualdad es una oración matemática que contiene signo de igual. Por ejemplo:
6 + 4 = 10
x + 6 = 10
Una igualdad que tiene variable ( valor desconocido o incógnita) se llama ecuación. Por ejemplo:
x + 6 = 10
Una desigualdad es una oración matemática que contiene un signo de desigualdad. Los signos de desigualdad son:
no es igual
< menor que
> mayor que
menor o igual que
mayor o igual que
Una desigualdad que tiene variable se llama inecuación. Por ejemplo:
x + 3 < 7
(La punta del signo < siempre señala el menor)
Ej. 3 < 4, 4 > 3
¿Cómo resolvemos una inecuación? Para esto tenemos que observar propiedades de las desigualdades. Por ejemplo:
1 < 6
1 + 5 < 6 + 5
¿Esto es cierto? Sí. Así que podemos sumar en ambos lados de una desigualdad y sigue cierta.
Otro ejemplo:
2 < 6
2 + -9 < 6 + -9
Esto es también cierto. Sigue cierta la desigualdad al sumar en ambos lados un número negativo.
Otro ejemplo con resta:
7 > 4
7 - 3 > 4 – 3
La desigualdad sigue siendo cierta al restar un número negativo.
Aquí tenemos otro ejemplo pero esta vez restando un número negativo en ambos lados de la desigualdad:
2 < 8
2 - (-3) < 8 - (-3) Restar un número es igual que sumar su opuesto
2 + 3 < 8 + 3
5 < 11
La desigualdad es cierta al restar un número negativo de ambos lados.
Multiplicación con números positivos:
3 < 7
3 * 6 < 7 * 6
La desigualdad es cierta al multiplicar un números positivos en ambos lados.
Multiplicación con números negativos:
4 > 1
4 • -2 > 1 • -2
-8 > -2 Falso
Nota: La desigualdad cambia en este caso, ya que -8 no es mayor que -2. En el caso que se multiplique por un número negativos en ambos lados de una desigualdad, el signo se invierte:
-8 < - 2
Ahora, la desigualdad es cierta.
División con positivos:
3 < 9
3/3 < 9/3 Si dividimos ambos lados de la desigualdad por 3
1 < 3
La desigualdad es cierta.
División con negativos:
4 < 12
4/-2 < 12/-2 Si dividimos ambos lados de la desigualdad por -2
-2 < -6 falso
Si dividimos ambos lados de la desigualdad por -2
La desigualdad es falsa. Por lo tanto, debemos invertir el signo.
-2 > -6
Ahora la desigualdad es cierta.
En resumen, se invierte el signo cuando se multiplica o se divide una desigualdad por un número negativo.
Ejemplos:
Resolver la siguiente inecuación para verificar si el número dado es solución.
Ejemplo 1: x + 3 < 6 ; x = 5
x + 3 < 6 [Ahora, se sustituye x por 5.]
5 + 3 < 6 [ Simplificar]
8 < 6
¿ 8 es menor que 6? No. Entonces, 5 no es una solución.
Ejemplo 2: x - 3 8 ; x = 11
11 - 3 8
8 8
¿8 es mayor que 8? No, pero 8 sí es igual a 8. Así que es cierta la inecuación y podemos concluir que x = 11 es una solución.
Ejemplos:
Resolver la inecuación.
Ejemplo 1:
x + 4 < 7 Hay que resolver la inecuación
x < 7 + - 4 Combinar los términos semejantes.
Encontrar los valores de x.
x < 3
Quiere decir, que x es menor que 3. Algunas soluciones son 2, 2.5, 2.7, 1, 0, etc. Todos los números menores que 3 son soluciones de esta inecuación. Quiere decir que el conjunto de soluciones de esta inecuación es un conjunto infinito.
Ejemplo 2:
x - 9 8
x 9 + 8
x 17
x es mayor o igual a 17 es la solución.
Ejemplo 3:
3x < 5 Para deshacer la multiplicación de la x por 3,
3x/3 < 12/3 dividimos por 3 en ambos lados de la inecuación
x < 4
Entonces, x es menor que 4 es la solución.
Ejemplo 4:
-2x -6 Para deshacer la multiplicación de x por -2, se
-2x/-2 -6/-2 divide ambos lados de la inecuación por -2.
x 3
Como el número dividido era negativo, se invierte el signo.
Ejemplo 5:
3x - 1 2x + 4 Hay que combinar términos semejantes.
3x + -2x 1 + 4 Resolver.
x 5
Ejemplo 6:
4x + 9 6x - 9
4x + 9 6x + - 9
4x + -6x -9 + -9
-2x/-2 -18/-2
x 9
Resolviendo Desigualdades
Ejemplo: Resolver x - 3 > 2
x - 3 + 3 > 2 + 3
x + 0 > 5
x > 5
Recuerda que restar un número es igual que sumarse el opuesto.
x + -3 + 3 > 2 + 3
x + 0 > 5
x > 5
Se resuelve tal como si fuera una ecuación, pero teniendo en cuenta los signos > , < , , , . y las propiedades de la desigualdades.
Ejemplo:
2x - 4 3x + 1
2x - 4 + 4 3x + 1+ 4
2x - 3x + 0 3x - 3x + 5
-x 0 + 5
x -5
Ejemplo:
Resolver -2x -34.
-2x -34 Al dividir ambos las por un número negativo, el signo
-2 -2 de se invierte a .
x 17
Ejercicios de Práctica:
A. Verificar si el número dado hace cierta o falsa la ecuación
1. x > 3 ; 5
2. x + 7 2 ; -8
3. 2x + 3 7x + 1 ; 2
4. 3x - 2 x + 7 ; 1
5. 6x 18 ; 3
B. Resuelva
1. x + 7 > 9
2. 2x + 3 x + 6
3. -6x + 7 x + 9
4. -6x -72
5. 1/3x - 9 > 2/3 x + 6
6. -6x + 9 < -2x + 8
7. -2x + 8 12
Soluciones:
A.
1. x > 3 ; 5
5 > 3 Esto hace cierta la ecuación
2. x + 7 2 ; -8
-8 + 7 2
-1 2 Esto no hace cierta la ecuación
3. 2x + 3 7x + 1; 2
2(2) + 3 7(2) + 1
4 + 3 14 + 1
7 15 Esto no hace cierta la ecuación
4. 3x - 2 x + 7 ; 1
3(1) - 2 1 + 7
3 - 2 1 + 7
1 8 Esto hace cierta la ecuación
5. 6x 18 ; 3
6(3) 18
18 18 Esto no hace cierta la ecuación.
B. Resuelva.
1. x + 7 > 9
x + 7 -7 > 9 - 7
x + 0 > 2
x > 2
2. 2x + 3 x + 6
2x - x + 3 x - x + 6
x + 3 - 3 0 + 6 - 3
x 3
3. -6x + 7 x + 9
-6x + -x -7 + 9
-7x/-7 2/-7
x - 2/7
4. -6x -72
-6x/-6 -72/-6
x 12
5. 1/3 x - 9 > 2/3 x + 6
1/3 x - 9 + 9 > 2/3 x + 6 + 9
1/3x - 2/3 > 2/3 x -2/3 x + 15
-1/3 x > 15
(3) (–1/3 x) > (-3) (15)
x < -45
6. - 6x + 9 < - 2x + 8
-6x + 2x < -9 + 8
-4x/-4 < -1/-4
x > 1/4
7. -2x + 8 12
-2x + 8 - 8 12 - 8
-2x/-2 4/-2
x -2
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Inecuaciones lineales con una incógnita
Se llama inecuación lineal con una incógnita a una expresión de cualquiera de los cuatro tipos siguientes:
donde
Cualquiera de los cuatro tipos de inecuaciones definidos anteriormente, admite, tras la aplicación de las transformaciones de equivalencia vistas en el apartado primero, una de las formas:
Lo que indica que las inecuaciones lineales con una incógnita admiten un número infinito de solución que suelen expresarse en forma de intervalo de números reales.
Ejemplo:
Resolver la inecuación:
Procedemos igual que si de una ecuación se tratase:
Eliminamos paréntesis:
Eliminamos denominadores, multiplicando ambos miembros por el m.c.m. de todos ellos:
Trasponemos los términos:
Reducimos términos semejantes:
Despejamos la incógnita multiplicando ambos miembros por el inverso de su coeficiente (ojo, si es negativo habrá que cambiar el sentido a la desigualdad):
La solución es el intervalo cerrado por la derecha . Es cerrado por la derecha pues el signo usado ha sido menor o igual, si hubiese sido sólo menor, sería abierto.
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viernes, 17 de junio de 2011
DESIGUALDADES LINEALES CON UNA VARIABLE (PROBLEMAS)
DESIGUALDADES LINEALES COM UNA VARIABLE
DESIGUALDADES
Una igualdad es una oración matemática que contiene signo de igual. Por ejemplo:
6 + 4 = 10
x + 6 = 10
Una igualdad que tiene variable ( valor desconocido o incógnita) se llama ecuación. Por ejemplo:
x + 6 = 10
Una desigualdad es una oración matemática que contiene un signo de desigualdad. Los signos de desigualdad son:
no es igual
< menor que > mayor que
menor o igual que
mayor o igual que
Una desigualdad que tiene variable se llama inecuación. Por ejemplo:
x + 3 < 7 (La punta del signo < siempre señala el menor) Ej. 3 < 4, 4 > 3
¿Cómo resolvemos una inecuación? Para esto tenemos que observar propiedades de las desigualdades. Por ejemplo:
1 < 6 1 + 5 < 6 + 5 ¿Esto es cierto? Sí. Así que podemos sumar en ambos lados de una desigualdad y sigue cierta. Otro ejemplo: 2 < 6 2 + -9 < 6 + -9 Esto es también cierto. Sigue cierta la desigualdad al sumar en ambos lados un número negativo. Otro ejemplo con resta: 7 > 4
7 - 3 > 4 – 3
La desigualdad sigue siendo cierta al restar un número negativo.
Aquí tenemos otro ejemplo pero esta vez restando un número negativo en ambos lados de la desigualdad:
2 < 8 2 - (-3) < 8 - (-3) Restar un número es igual que sumar su opuesto 2 + 3 < 8 + 3 5 < 11 La desigualdad es cierta al restar un número negativo de ambos lados. Multiplicación con números positivos: 3 < 7 3 * 6 < 7 * 6 La desigualdad es cierta al multiplicar un números positivos en ambos lados. Multiplicación con números negativos: 4 > 1
4 • -2 > 1 • -2
-8 > -2 Falso
Nota: La desigualdad cambia en este caso, ya que -8 no es mayor que -2. En el caso que se multiplique por un número negativos en ambos lados de una desigualdad, el signo se invierte:
-8 < - 2 Ahora, la desigualdad es cierta. División con positivos: 3 < 9 3/3 < 9/3 Si dividimos ambos lados de la desigualdad por 3 1 < 3 La desigualdad es cierta. División con negativos: 4 < 12 4/-2 < 12/-2 Si dividimos ambos lados de la desigualdad por -2 -2 < -6 falso Si dividimos ambos lados de la desigualdad por -2 La desigualdad es falsa. Por lo tanto, debemos invertir el signo. -2 > -6
Ahora la desigualdad es cierta.
En resumen, se invierte el signo cuando se multiplica o se divide una desigualdad por un número negativo.
Ejemplos:
Resolver la siguiente inecuación para verificar si el número dado es solución.
Ejemplo 1: x + 3 < 6 ; x = 5 x + 3 < 6 [Ahora, se sustituye x por 5.] 5 + 3 < 6 [ Simplificar] 8 < 6 ¿ 8 es menor que 6? No. Entonces, 5 no es una solución. Ejemplo 2: x - 3 8 ; x = 11 11 - 3 8 8 8 ¿8 es mayor que 8? No, pero 8 sí es igual a 8. Así que es cierta la inecuación y podemos concluir que x = 11 es una solución. Ejemplos: Resolver la inecuación. Ejemplo 1: x + 4 < 7 Hay que resolver la inecuación x < 7 + - 4 Combinar los términos semejantes. Encontrar los valores de x. x < 3 Quiere decir, que x es menor que 3. Algunas soluciones son 2, 2.5, 2.7, 1, 0, etc. Todos los números menores que 3 son soluciones de esta inecuación. Quiere decir que el conjunto de soluciones de esta inecuación es un conjunto infinito. Ejemplo 2: x - 9 8 x 9 + 8 x 17 x es mayor o igual a 17 es la solución. Ejemplo 3: 3x < 5 Para deshacer la multiplicación de la x por 3, 3x/3 < 12/3 dividimos por 3 en ambos lados de la inecuación x < 4 Entonces, x es menor que 4 es la solución. Ejemplo 4: -2x -6 Para deshacer la multiplicación de x por -2, se -2x/-2 -6/-2 divide ambos lados de la inecuación por -2. x 3 Como el número dividido era negativo, se invierte el signo. Ejemplo 5: 3x - 1 2x + 4 Hay que combinar términos semejantes. 3x + -2x 1 + 4 Resolver. x 5 Ejemplo 6: 4x + 9 6x - 9 4x + 9 6x + - 9 4x + -6x -9 + -9 -2x/-2 -18/-2 x 9 Resolviendo Desigualdades Ejemplo: Resolver x - 3 > 2
x - 3 + 3 > 2 + 3
x + 0 > 5
x > 5
Recuerda que restar un número es igual que sumarse el opuesto.
x + -3 + 3 > 2 + 3
x + 0 > 5
x > 5
Se resuelve tal como si fuera una ecuación, pero teniendo en cuenta los signos > , < , , , . y las propiedades de la desigualdades. Ejemplo: 2x - 4 3x + 1 2x - 4 + 4 3x + 1+ 4 2x - 3x + 0 3x - 3x + 5 -x 0 + 5 x -5 Ejemplo: Resolver -2x -34. -2x -34 Al dividir ambos las por un número negativo, el signo -2 -2 de se invierte a . x 17 Ejercicios de Práctica: A. Verificar si el número dado hace cierta o falsa la ecuación 1. x > 3 ; 5
2. x + 7 2 ; -8
3. 2x + 3 7x + 1 ; 2
4. 3x - 2 x + 7 ; 1
5. 6x 18 ; 3
B. Resuelva
1. x + 7 > 9
2. 2x + 3 x + 6
3. -6x + 7 x + 9
4. -6x -72
5. 1/3x - 9 > 2/3 x + 6
6. -6x + 9 < -2x + 8 7. -2x + 8 12 Soluciones: A. 1. x > 3 ; 5
5 > 3 Esto hace cierta la ecuación
2. x + 7 2 ; -8
-8 + 7 2
-1 2 Esto no hace cierta la ecuación
3. 2x + 3 7x + 1; 2
2(2) + 3 7(2) + 1
4 + 3 14 + 1
7 15 Esto no hace cierta la ecuación
4. 3x - 2 x + 7 ; 1
3(1) - 2 1 + 7
3 - 2 1 + 7
1 8 Esto hace cierta la ecuación
5. 6x 18 ; 3
6(3) 18
18 18 Esto no hace cierta la ecuación.
B. Resuelva.
1. x + 7 > 9
x + 7 -7 > 9 - 7
x + 0 > 2
x > 2
2. 2x + 3 x + 6
2x - x + 3 x - x + 6
x + 3 - 3 0 + 6 - 3
x 3
3. -6x + 7 x + 9
-6x + -x -7 + 9
-7x/-7 2/-7
x - 2/7
4. -6x -72
-6x/-6 -72/-6
x 12
5. 1/3 x - 9 > 2/3 x + 6
1/3 x - 9 + 9 > 2/3 x + 6 + 9
1/3x - 2/3 > 2/3 x -2/3 x + 15
-1/3 x > 15
(3) (–1/3 x) > (-3) (15)
x < -45 6. - 6x + 9 < - 2x + 8 -6x + 2x < -9 + 8 -4x/-4 < -1/-4 x > 1/4
7. -2x + 8 12
-2x + 8 - 8 12 - 8
-2x/-2 4/-2
x -2
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Inecuaciones lineales con una incógnita
Se llama inecuación lineal con una incógnita a una expresión de cualquiera de los cuatro tipos siguientes:
donde
Cualquiera de los cuatro tipos de inecuaciones definidos anteriormente, admite, tras la aplicación de las transformaciones de equivalencia vistas en el apartado primero, una de las formas:
Lo que indica que las inecuaciones lineales con una incógnita admiten un número infinito de solución que suelen expresarse en forma de intervalo de números reales.
Ejemplo:
Resolver la inecuación:
Procedemos igual que si de una ecuación se tratase:
Eliminamos paréntesis:
Eliminamos denominadores, multiplicando ambos miembros por el m.c.m. de todos ellos:
Trasponemos los términos:
Reducimos términos semejantes:
Despejamos la incógnita multiplicando ambos miembros por el inverso de su coeficiente (ojo, si es negativo habrá que cambiar el sentido a la desigualdad):
La solución es el intervalo cerrado por la derecha . Es cerrado por la derecha pues el signo usado ha sido menor o igual, si hubiese sido sólo menor, sería abierto.
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Ecuaciones equivalentes
Dos ecuaciones son equivalentes cuando admiten la mismas soluciones. Se cumple:
v Si se suma o resta un mismo número a los dos miembros de una ecuación, se obtiene una ecuación equivalente a la primera.
v Si se multiplican o dividen los dos miembros de una ecuación por un mismo número distinto de cero se obtiene una ecuación equivalente a la primera.
Trasposición de términos. Aplicando las reglas anteriores deducimos dos reglas prácticas:
Ø Si un número aparece en un miembro sumando, se le puede pasar al otro miembro restando. Si esta restando pasará sumando.
Ø De igual manera si está multiplicando pasa dividiendo y al revés.
Esto se llama trasponer términos.
Ejemplo 2: La ecuación 5x - 1 = 2x -3 se puede escribir 3x + 2 = 0, trasponiendo términos.
Nota : El segundo miembro de la ecuación se puede considerar siempre que es 0.
Ecuaciones de primer grado
La forma general de esta ecuación es a x +b =0 con a0
Trasponiendo y dividiendo por a se llega a .
Solución que siempre existe y es única.
Ejemplo 3. a) 3x +2 =0 Þ
b) 7x + 2 = 2x -3 , si trasponemos términos, nos queda 7x –2x = -2 –3
Luego 5x = -5 de donde x = -1
Ecuaciones de segundo grado
La forma general de una ecuación de 2º grado es: , donde a
La solución de esta ecuación general viene dada por la fórmula:
Ejemplo 8.
=
Observación. A D = se llama discriminante de la ecuación de 2º y se verifica:
Si D>0 la ecuación tiene dos soluciones conjugadas
Si D =0 la ecuación tiene una única solución (doble)
Si D <0 br="br" ecuaci="ecuaci" la="la" n="n" ninguna="ninguna" no="no" real.="real." soluci="soluci" tiene="tiene">
Ecuaciones incompletas
* Si c =0 la ecuación se reduce a y sacando factor común x se tiene:
x(ax +b) =0
Este tipo de ecuación siempre tiene dos soluciones.
Ejemplo 4. 3x2-5x=0 x(3x-5)=0
* Si b =0 la ecuación queda de donde
Puede tener dos soluciones opuestas o ninguna solución, dependiendo de que el radicando sea o no positivo.
Ejemplo 5. 2 x2-=0; 2 x2=Þ (dos soluciones)
Ejemplo 6. 3x2+1 =0 (no tiene ninguna solución)
Resolución “práctica” de una ecuación
Lo estudiamos con un ejemplo
Ejemplo 7.
Para resolver la ecuación seguiremos el siguiente orden.
1º Quitar denominadores
Al multiplicar los dos miembros de una ecuación por el mínimo común múltiplo de sus denominadores, se obtiene otra ecuación equivalente a la primera, pero sin denominadores.
Multiplicamos los dos miembros de la igualdad por 6, que es el m.c.m. de los denominadores.
Nos queda 3(2x-3) -2(5x-1) =6
2º Quitar paréntesis
Se efectuarán las operaciones indicadas, utilizando la propiedad distributiva.
Quitando paréntesis 6x-9 –10x+2=6
3º Trasposición de términos
Se disponen todos los términos que llevan x en un miembro y los demás en el otro.
Trasponiendo términos 6x –10x = 9 - 2 + 6
4º Reducción de términos semejantes
De este modo cada miembro de la ecuación queda con un solo término:
-4x = 13
5º. Despejar la incógnita
Se dividirá ambos miembros por el coeficiente de la incógnita (se puede hacer siempre que sea a0)
Observación. Dependiendo de la ecuación a resolver puede ocurrir que alguno de los pasos sea innecesario, se omite y se pasa al siguiente.
Ecuaciones de primer grado
Resuelve
Solución.
Multiplicamos los dos miembros por 8 (es el m .c. m. de los denominadores)
(2x-4)2 = 40 +4x(x +1)
4x2 –16x +16 = 40 + 4x2 +4x
4x2 –16x +16 =40 +4x2 +4x
Reduciendo términos semejantes:
16x-4x= 40- 16 -20x =24 = -1,2
Ecuaciones de segundo grado
Resuelve las siguiente ecuaciones
1) –6x2 +5x-1=0
2) (5x-4)(2x+3) =5
3) 30 + 9x – 3x2 =0
Solución.
Multiplicamos por el M. C. M de los denominadores, que es 2(2 +x):
(2 +x)(2-x) +4.2 =2(2 +x)
4 –x2 +8 =4 + 2x,
agrupando términos y organizando la ecuación
0 = x2 +2x –8 Þ
Aplicaciones de las ecuaciones de 2º grado
Ø Ecuaciones bicuadradas
Ejemplo 8. La ecuación x4 – 5x2 +6=0 es bicuadrada (es de 4º grado sin potencias impares).
Para resolverla se procede así:
Se hace un cambio de incógnita
x2= y
con lo cual x4 = y2
Sustituyendo en la ecuación: y2-5y+6=0 que sí es de 2º grado y podemos aplicar la fórmula:
Sustituyendo los valores en la expresión x2= y , x = obtenemos:
y
En este caso la ecuación tiene 4 soluciones.
Ejercicios
Resuelve:
1) x4 –3x2+2=0
2) x4-13x2+36=0
3) x4-1=0
4) x4+ 4x2 =0
Solución.
Como es incompleta, .al igual que en las de segundo grado, sacamos factor común
x2(x2 +4) =0que tiene sólo la solución (doble) x =0
5) x4-9x2=0
6) 3x4 –5x2+2=0
7) x4+ x2+1=0
Ø Resolución de ecuaciones irracionales.
Ejemplo 9.
Se procede de la forma siguiente:
1) Se aísla la raíz:
2) Se elevan al cuadrado ambos miembros de la igualdad:
4(x-1)=(4-x)2 Þ 4x-4 = 16-8x +x2
3) Se resuelve a ecuación de 2º grado que resulta
x2-12x +20 =0 x =10 y x =2 (comprobarlo)
4) Se comprueban las soluciones
Si x =10
16 - 4= 0 Falso, no es solución
Si x =2
4 - 4=0 Cierto, si es solución.
Ejercicios
Resuelve las siguientes ecuaciones y comprueba las soluciones:
Solución.
Aislamos una de las raíces:
Elevamos al cuadrado (
Volvemos a aislar la raíz que nos queda
Elevamos al cuadrado
144(2x-1)=x2 +62x+961
288x -144 = x2 +62x +961
Es decir:
x2 –226x +1105 =0
Comprobamos las soluciones:
x =221 no es solución pues
x =5 sí es solución
3=3
Ecuaciones de grado superior a dos
Resolver las siguientes ecuaciones:
1) x3 –x2-x +1=0
Solución
Los divisores del término independiente son 1 y -
Luego :
x3 –x2-x +1 = (x-1)(x2-1)= (x-1)(x +1) (x-1) y las soluciones son: x =1 (doble) y x =-1
2) x4 –x3-16x2-20x = 0
3) x4-8x3+ 18x2-11x=0
4) x3-2x2-9x +18
5) x4-x3-11x2+ 9x+18=0
Sistemas de ecuaciones lineales
Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones de primer grado.
Ejemplo 10: es un sistema de 2 ecuaciones con dos incógnitas
Resolver un sistema es encontrar la solución (o soluciones) común a todas ellas, o concluir que el sistema no tiene solución.
Hay tres métodos algebraicos para resolverlos:
ü Sustitución
Ejemplo 11.
En la 2ª ecuación despejamos la y y la sustituimos en 1ª ecuación
y =3x; 2x +3(3x) =1Þ 11x =1
Þ x =1/11
Una vez encontrado el valor de una de las incógnitas se sustituye (y =3x) para encontrar el valor de la otra incógnita: y =3/11
Observación. Este método es muy adecuado cuando el coeficiente de, al menos, una de las incógnitas es 1.
ü Igualación
Ejemplo 12.
Despejamos la misma incógnita en las dos ecuaciones; y =3x.
Igualando Þ 1-2x =9x Þ 1= 11x Þ x =1/11
Ahora para obtener el valor de la y se procede como en el caso anterior, es decir se sustituye el valor hallado en la ecuación que más convenga ( en este caso en y =3x). y =3/11
Observación. Este método es muy adecuado cuando el coeficiente de una de las incógnitas es igual en las dos ecuaciones.
ü Reducción
Ejemplo 13.
Multiplicamos la 1ª ecuación por 2 y la 2ª por 3. (De esta forma el coeficiente de y en las dos ecuaciones es el mismo, el m.c.m.
Resulta: Þ
Sumando obtenemos 13 x =2 Þ
Sustituyendo el valor encontrado de x en la segunda ecuación:
y =3/13
Nota. A veces es más cómodo usar la reducción dos veces para encontrar el valor de la otra incógnita. (Ver ejercicio resuelto).
Ø 4º Método: Resolución gráfica.
Se dibujan en los mismos ejes las dos rectas, el punto de corte es la solución del sistema.
Ejercicios
Resuelve los siguientes sistemas por el método que creas más adecuado:
Solución
Para quitar los denominadores multiplicamos por 4 la 1ª ecuación Þ
Le resolvemos por reducción doble.
Multiplicamos la 2ª ecuación por –2 Þ
Sumando las dos ecuaciones obtenemos una equivalente: -3y = -12Þy =4
Para encontrar el valor de x, eliminamos la y, para ello multiplicando la 1ª por -2
sumando –3x= -12Þ x =4
Resuélvelo gráficamente
Resolución gráfica
Resuelve gráficamente los siguientes sistemas. compruébalo analíticamente.
Problemas de aplicación
1) Calcula dos número cuya suma sea 8 y su producto 12.
2) La suma de dos número es 65 y su diferencia 23. Halla los números
3) La diferencia de dos números es 1/6. El triple del mayor menos el doble del menor es 1. Halla dichos números.
Sistemas de ecuaciones de 2º grado
Son aquellos en que al menos una de las ecuaciones es de 2º grado. Veremos con un ejemplo como proceder para obtener las soluciones
Ejemplo 14. Sea el sistema
En la 2ª ecuación despejamos la y, y la sustituimos en la 1ª
y = 2x-4Þ 2x2+(2x –4)2=22
2x2 +4x2 –16x +16=22; 6x2-16x-6=0,
Simplificando por 2 obtenemos:3x2-8x-3=0, que es una ecuación de 2º grado completa:
=
También se pueden resolver gráficamente algunos sistemas de 2º grado
Ejercicios
Resuelve los siguientes sistemas y si es posible también gráficamente:
Solución
En este caso se puede resolver gráficamente. Lo haremos por tanto gráficamente como ejemplo.
La gráfica de la primera es una recta, de ecuación explícita; y =4-2x, que pasa por los puntos (0, 4) y (2, 0)
La gráfica de la segunda ecuación es una parábola.
El vértice está en el punto (0, 4) y dos puntos simétricos son los de corte con el eje de abscisas, (-2, 0) y (2, 0)
Las soluciones gráficas (0, 4) y (2, 0)
Comprobarlo resolviéndolo analíticamente.
Sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas,
----------------------------------------------------------------------------------
Método de Gauss
Está basado en el de reducción. Consiste en, mediante transformaciones elementales, llegar a otro escalonado de más fácil resolución.
Ejemplo 15. Resuelve el sistema
Multiplicamos la 1ª ecuación por 2 y se la restamos a la segunda:
Permutamos las ecuaciones 2ª y 3ª:
Multiplicamos la 1ª ecuación por 5 y se la sumamos a la 2ª:
que es un sistema escalonado.
Hasta aquí es el método de Gauss, ya se ha conseguido un sistema escalonado ahora para resolverlo se procede:
z =-11, de donde
4x = -46-14(-11)Þ x=54/2, la y la obtenemos sustituyendo estos dos valores en la ecuación 1ª ;
y =-9-54+33, y=-30.
La solución es: (54/2,-30,-11)
Ejercicios
Resuelve los siguientes sistemas
Estrategias para la resolución de Problemas.
Para resolver un problema es conveniente realizar cuatro fases[1]:
1ª. Comprender el problema.
Hay que leer el problema hasta familiarizarse con él y que podamos contestar, sin dudar, a las siguientes preguntas:
¿Cuáles son los datos? ¿cuál es la incógnita o incógnitas? ¿son las condiciones suficientes para determinar a las incógnitas? ¿son insuficientes?.. .
2ª Concebir un plan.
Determinar la relación entre los datos y la incógnitas.
De no encontrarse una relación inmediata puedes considerar problemas auxiliares.
¿Conoces problemas relacionados con éste?
¿Podrías plantear el problema de forma diferente?
¿Puedes cambiar la incógnita o los datos o ambos si fuera necesario, de tal forma que la nueva incógnita y datos estén en una relación más sencilla?...
¿Has considerado todas las nociones esenciales del problema?
.................
Obtener finalmente un plan de solución.
Para nuestro caso:
Escribir la ecuación o ecuaciones que relacionan datos e incógnitas y analizar el sistema que forman.
3ª. Ejecutar el plan.
Resuelve el sistema por los métodos estudiados.
4ª. Examinar la solución obtenida.
Comprobar si las soluciones obtenidas son válidas y proceder en consecuencia.
Problemas resueltos
1. Dos poblaciones A y B distan 25km. Un peatón sale de A hacia B a una velocidad de 4km/h. Simultáneamente sale de B hacia A otro peatón a 6km/h. Calcula el tiempo que tardan en encontrarse.
Solución
25km
El espacio que recorre el peatón que sale de A es: E = v A t =4.t
El espacio que recorre el peatón que sale de B es: E = v B t = 6t
Cuando se encuentran habrán recorrido entre ambos los 25km
Por lo tanto: 4t +6t =25
10 t = 25 Þ t = 2,5 horas
Tardan en encontrarse 2 horas y media
Se encuentran a las 12 horas 16 minutos 21 segundos
2. Para vallar una finca rectangular de 750m2 se han utilizado 110m de cerca. Calcular las dimensiones de la cerca.
Solución
Llamamos x a la base del rectángulo, e y la altura.
Como la superficie es el producto de la base por la altura, entonces x .y =750
El perímetro es la suma de los 4 lados:
2x +2y =110
Es decir tenemos el sistema De la primera ecuación se tiene y =750/x
Sustituyendo en la segunda:
Þ 2x2+1500 =110 x Þ 2x2-110x +1500=0
De donde
Nos da dos soluciones:
Si la base es x =30 Þ la altura es y = 750/30 =25
Si la base es x = 22,5 Þ la altura es y =750/22,5=100/3= 33,333..
Ambas válidas.
3. Un grupo de personas se reúne para ir de excursión, juntándose un total de 20 entre hombres, mujeres y niños. Contando hombres y mujeres juntos, su número resulta ser el triple del número de niños. Además, si hubiera acudido una mujer más, su número igualaría al de los hombres. ¿Cuántos hombres, mujeres y niños han ido de excursión.
Solución
Sean:hombres X mujeres y niños
Luego:
x + y + z = 20
x + y = 3z Es un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas.
x = y + 1
Se resuelve por reducción:
Restamos a la 1º ecuación la 2ª
z =20-3z Þ 4z = 20 Þ z =5 , sustituyendo en la 2ª nos queda:
x +y =15 que junto con la 3ª forman un sistema de dos ecuaciones:
x –y =1
Sumando nos queda 2x = 16 Þ x =8 , y =7
Resuélvelo por el método de Gauss
Problemas propuestos
1. Un tendero invierte 125 € en la compra de una partida de manzanas. Desecha 20kg por defectuosas y vende el resto aumentando 0,40 € cada kilo sobre el precio de compra, por 147 €. ¿Cuántos kilos compró?
2. El perímetro de un jardín rectangular es de 68 m. Si el lado mayor mide 10 m. más que el lado menor. ¿Cuánto miden los lados del jardín?
3. Halla dos números positivos cuya suma es 20 y la suma de sus cuadrados 250.
4. Un ciclista sale por una carretera a 15km / h. Media hora después sale otro en su persecución a una velocidad de 20km/h. ¿Cuánto tardarán en alcanzarse?
5. Tres empresas aportan 2, 3 y 5 millones de euros para la comercialización de un nuevo avión. A los cinco años reparten beneficios correspondiendo a la tercera 189000 € más que a la segunda. ¿Cuál fue la cantidad repartida?
6. En la primera prueba de una oposición queda eliminado el 70% de los participantes. En la segunda queda eliminado el 40% de los restantes. Si el número de personas que aprobaron los dos exámenes fue 36 ¿cuántas personas se presentaron a la oposición?
7. Calcula tres números sabiendo que son consecutivos y que su suma es igual al cuádruple del menor.
8. La base de un rectángulo es 10cm más larga que la altura. Su área mide 600m2. Calcular las dimensiones del rectángulo.
9. Dos números son tales que el mayor menos la raíz cuadrada del menor es 22 y la suma de los números es 34. ¿Cuáles son los números.
10. Una caja mide 5cm de altura y de ancho, cinco cm. más que de largo. Su volumen es 1500cm3. Calcular la longitud y la anchura.
DESIGUALDADES
Una igualdad es una oración matemática que contiene signo de igual. Por ejemplo:
6 + 4 = 10
x + 6 = 10
Una igualdad que tiene variable ( valor desconocido o incógnita) se llama ecuación. Por ejemplo:
x + 6 = 10
Una desigualdad es una oración matemática que contiene un signo de desigualdad. Los signos de desigualdad son:
no es igual
< menor que > mayor que
menor o igual que
mayor o igual que
Una desigualdad que tiene variable se llama inecuación. Por ejemplo:
x + 3 < 7 (La punta del signo < siempre señala el menor) Ej. 3 < 4, 4 > 3
¿Cómo resolvemos una inecuación? Para esto tenemos que observar propiedades de las desigualdades. Por ejemplo:
1 < 6 1 + 5 < 6 + 5 ¿Esto es cierto? Sí. Así que podemos sumar en ambos lados de una desigualdad y sigue cierta. Otro ejemplo: 2 < 6 2 + -9 < 6 + -9 Esto es también cierto. Sigue cierta la desigualdad al sumar en ambos lados un número negativo. Otro ejemplo con resta: 7 > 4
7 - 3 > 4 – 3
La desigualdad sigue siendo cierta al restar un número negativo.
Aquí tenemos otro ejemplo pero esta vez restando un número negativo en ambos lados de la desigualdad:
2 < 8 2 - (-3) < 8 - (-3) Restar un número es igual que sumar su opuesto 2 + 3 < 8 + 3 5 < 11 La desigualdad es cierta al restar un número negativo de ambos lados. Multiplicación con números positivos: 3 < 7 3 * 6 < 7 * 6 La desigualdad es cierta al multiplicar un números positivos en ambos lados. Multiplicación con números negativos: 4 > 1
4 • -2 > 1 • -2
-8 > -2 Falso
Nota: La desigualdad cambia en este caso, ya que -8 no es mayor que -2. En el caso que se multiplique por un número negativos en ambos lados de una desigualdad, el signo se invierte:
-8 < - 2 Ahora, la desigualdad es cierta. División con positivos: 3 < 9 3/3 < 9/3 Si dividimos ambos lados de la desigualdad por 3 1 < 3 La desigualdad es cierta. División con negativos: 4 < 12 4/-2 < 12/-2 Si dividimos ambos lados de la desigualdad por -2 -2 < -6 falso Si dividimos ambos lados de la desigualdad por -2 La desigualdad es falsa. Por lo tanto, debemos invertir el signo. -2 > -6
Ahora la desigualdad es cierta.
En resumen, se invierte el signo cuando se multiplica o se divide una desigualdad por un número negativo.
Ejemplos:
Resolver la siguiente inecuación para verificar si el número dado es solución.
Ejemplo 1: x + 3 < 6 ; x = 5 x + 3 < 6 [Ahora, se sustituye x por 5.] 5 + 3 < 6 [ Simplificar] 8 < 6 ¿ 8 es menor que 6? No. Entonces, 5 no es una solución. Ejemplo 2: x - 3 8 ; x = 11 11 - 3 8 8 8 ¿8 es mayor que 8? No, pero 8 sí es igual a 8. Así que es cierta la inecuación y podemos concluir que x = 11 es una solución. Ejemplos: Resolver la inecuación. Ejemplo 1: x + 4 < 7 Hay que resolver la inecuación x < 7 + - 4 Combinar los términos semejantes. Encontrar los valores de x. x < 3 Quiere decir, que x es menor que 3. Algunas soluciones son 2, 2.5, 2.7, 1, 0, etc. Todos los números menores que 3 son soluciones de esta inecuación. Quiere decir que el conjunto de soluciones de esta inecuación es un conjunto infinito. Ejemplo 2: x - 9 8 x 9 + 8 x 17 x es mayor o igual a 17 es la solución. Ejemplo 3: 3x < 5 Para deshacer la multiplicación de la x por 3, 3x/3 < 12/3 dividimos por 3 en ambos lados de la inecuación x < 4 Entonces, x es menor que 4 es la solución. Ejemplo 4: -2x -6 Para deshacer la multiplicación de x por -2, se -2x/-2 -6/-2 divide ambos lados de la inecuación por -2. x 3 Como el número dividido era negativo, se invierte el signo. Ejemplo 5: 3x - 1 2x + 4 Hay que combinar términos semejantes. 3x + -2x 1 + 4 Resolver. x 5 Ejemplo 6: 4x + 9 6x - 9 4x + 9 6x + - 9 4x + -6x -9 + -9 -2x/-2 -18/-2 x 9 Resolviendo Desigualdades Ejemplo: Resolver x - 3 > 2
x - 3 + 3 > 2 + 3
x + 0 > 5
x > 5
Recuerda que restar un número es igual que sumarse el opuesto.
x + -3 + 3 > 2 + 3
x + 0 > 5
x > 5
Se resuelve tal como si fuera una ecuación, pero teniendo en cuenta los signos > , < , , , . y las propiedades de la desigualdades. Ejemplo: 2x - 4 3x + 1 2x - 4 + 4 3x + 1+ 4 2x - 3x + 0 3x - 3x + 5 -x 0 + 5 x -5 Ejemplo: Resolver -2x -34. -2x -34 Al dividir ambos las por un número negativo, el signo -2 -2 de se invierte a . x 17 Ejercicios de Práctica: A. Verificar si el número dado hace cierta o falsa la ecuación 1. x > 3 ; 5
2. x + 7 2 ; -8
3. 2x + 3 7x + 1 ; 2
4. 3x - 2 x + 7 ; 1
5. 6x 18 ; 3
B. Resuelva
1. x + 7 > 9
2. 2x + 3 x + 6
3. -6x + 7 x + 9
4. -6x -72
5. 1/3x - 9 > 2/3 x + 6
6. -6x + 9 < -2x + 8 7. -2x + 8 12 Soluciones: A. 1. x > 3 ; 5
5 > 3 Esto hace cierta la ecuación
2. x + 7 2 ; -8
-8 + 7 2
-1 2 Esto no hace cierta la ecuación
3. 2x + 3 7x + 1; 2
2(2) + 3 7(2) + 1
4 + 3 14 + 1
7 15 Esto no hace cierta la ecuación
4. 3x - 2 x + 7 ; 1
3(1) - 2 1 + 7
3 - 2 1 + 7
1 8 Esto hace cierta la ecuación
5. 6x 18 ; 3
6(3) 18
18 18 Esto no hace cierta la ecuación.
B. Resuelva.
1. x + 7 > 9
x + 7 -7 > 9 - 7
x + 0 > 2
x > 2
2. 2x + 3 x + 6
2x - x + 3 x - x + 6
x + 3 - 3 0 + 6 - 3
x 3
3. -6x + 7 x + 9
-6x + -x -7 + 9
-7x/-7 2/-7
x - 2/7
4. -6x -72
-6x/-6 -72/-6
x 12
5. 1/3 x - 9 > 2/3 x + 6
1/3 x - 9 + 9 > 2/3 x + 6 + 9
1/3x - 2/3 > 2/3 x -2/3 x + 15
-1/3 x > 15
(3) (–1/3 x) > (-3) (15)
x < -45 6. - 6x + 9 < - 2x + 8 -6x + 2x < -9 + 8 -4x/-4 < -1/-4 x > 1/4
7. -2x + 8 12
-2x + 8 - 8 12 - 8
-2x/-2 4/-2
x -2
------------------------------------
Inecuaciones lineales con una incógnita
Se llama inecuación lineal con una incógnita a una expresión de cualquiera de los cuatro tipos siguientes:
donde
Cualquiera de los cuatro tipos de inecuaciones definidos anteriormente, admite, tras la aplicación de las transformaciones de equivalencia vistas en el apartado primero, una de las formas:
Lo que indica que las inecuaciones lineales con una incógnita admiten un número infinito de solución que suelen expresarse en forma de intervalo de números reales.
Ejemplo:
Resolver la inecuación:
Procedemos igual que si de una ecuación se tratase:
Eliminamos paréntesis:
Eliminamos denominadores, multiplicando ambos miembros por el m.c.m. de todos ellos:
Trasponemos los términos:
Reducimos términos semejantes:
Despejamos la incógnita multiplicando ambos miembros por el inverso de su coeficiente (ojo, si es negativo habrá que cambiar el sentido a la desigualdad):
La solución es el intervalo cerrado por la derecha . Es cerrado por la derecha pues el signo usado ha sido menor o igual, si hubiese sido sólo menor, sería abierto.
-------------------------------------------------------------------------------
Ecuaciones equivalentes
Dos ecuaciones son equivalentes cuando admiten la mismas soluciones. Se cumple:
v Si se suma o resta un mismo número a los dos miembros de una ecuación, se obtiene una ecuación equivalente a la primera.
v Si se multiplican o dividen los dos miembros de una ecuación por un mismo número distinto de cero se obtiene una ecuación equivalente a la primera.
Trasposición de términos. Aplicando las reglas anteriores deducimos dos reglas prácticas:
Ø Si un número aparece en un miembro sumando, se le puede pasar al otro miembro restando. Si esta restando pasará sumando.
Ø De igual manera si está multiplicando pasa dividiendo y al revés.
Esto se llama trasponer términos.
Ejemplo 2: La ecuación 5x - 1 = 2x -3 se puede escribir 3x + 2 = 0, trasponiendo términos.
Nota : El segundo miembro de la ecuación se puede considerar siempre que es 0.
Ecuaciones de primer grado
La forma general de esta ecuación es a x +b =0 con a0
Trasponiendo y dividiendo por a se llega a .
Solución que siempre existe y es única.
Ejemplo 3. a) 3x +2 =0 Þ
b) 7x + 2 = 2x -3 , si trasponemos términos, nos queda 7x –2x = -2 –3
Luego 5x = -5 de donde x = -1
Ecuaciones de segundo grado
La forma general de una ecuación de 2º grado es: , donde a
La solución de esta ecuación general viene dada por la fórmula:
Ejemplo 8.
=
Observación. A D = se llama discriminante de la ecuación de 2º y se verifica:
Si D>0 la ecuación tiene dos soluciones conjugadas
Si D =0 la ecuación tiene una única solución (doble)
Si D <0 br="br" ecuaci="ecuaci" la="la" n="n" ninguna="ninguna" no="no" real.="real." soluci="soluci" tiene="tiene">
Ecuaciones incompletas
* Si c =0 la ecuación se reduce a y sacando factor común x se tiene:
x(ax +b) =0
Este tipo de ecuación siempre tiene dos soluciones.
Ejemplo 4. 3x2-5x=0 x(3x-5)=0
* Si b =0 la ecuación queda de donde
Puede tener dos soluciones opuestas o ninguna solución, dependiendo de que el radicando sea o no positivo.
Ejemplo 5. 2 x2-=0; 2 x2=Þ (dos soluciones)
Ejemplo 6. 3x2+1 =0 (no tiene ninguna solución)
Resolución “práctica” de una ecuación
Lo estudiamos con un ejemplo
Ejemplo 7.
Para resolver la ecuación seguiremos el siguiente orden.
1º Quitar denominadores
Al multiplicar los dos miembros de una ecuación por el mínimo común múltiplo de sus denominadores, se obtiene otra ecuación equivalente a la primera, pero sin denominadores.
Multiplicamos los dos miembros de la igualdad por 6, que es el m.c.m. de los denominadores.
Nos queda 3(2x-3) -2(5x-1) =6
2º Quitar paréntesis
Se efectuarán las operaciones indicadas, utilizando la propiedad distributiva.
Quitando paréntesis 6x-9 –10x+2=6
3º Trasposición de términos
Se disponen todos los términos que llevan x en un miembro y los demás en el otro.
Trasponiendo términos 6x –10x = 9 - 2 + 6
4º Reducción de términos semejantes
De este modo cada miembro de la ecuación queda con un solo término:
-4x = 13
5º. Despejar la incógnita
Se dividirá ambos miembros por el coeficiente de la incógnita (se puede hacer siempre que sea a0)
Observación. Dependiendo de la ecuación a resolver puede ocurrir que alguno de los pasos sea innecesario, se omite y se pasa al siguiente.
Ecuaciones de primer grado
Resuelve
Solución.
Multiplicamos los dos miembros por 8 (es el m .c. m. de los denominadores)
(2x-4)2 = 40 +4x(x +1)
4x2 –16x +16 = 40 + 4x2 +4x
4x2 –16x +16 =40 +4x2 +4x
Reduciendo términos semejantes:
16x-4x= 40- 16 -20x =24 = -1,2
Ecuaciones de segundo grado
Resuelve las siguiente ecuaciones
1) –6x2 +5x-1=0
2) (5x-4)(2x+3) =5
3) 30 + 9x – 3x2 =0
Solución.
Multiplicamos por el M. C. M de los denominadores, que es 2(2 +x):
(2 +x)(2-x) +4.2 =2(2 +x)
4 –x2 +8 =4 + 2x,
agrupando términos y organizando la ecuación
0 = x2 +2x –8 Þ
Aplicaciones de las ecuaciones de 2º grado
Ø Ecuaciones bicuadradas
Ejemplo 8. La ecuación x4 – 5x2 +6=0 es bicuadrada (es de 4º grado sin potencias impares).
Para resolverla se procede así:
Se hace un cambio de incógnita
x2= y
con lo cual x4 = y2
Sustituyendo en la ecuación: y2-5y+6=0 que sí es de 2º grado y podemos aplicar la fórmula:
Sustituyendo los valores en la expresión x2= y , x = obtenemos:
y
En este caso la ecuación tiene 4 soluciones.
Ejercicios
Resuelve:
1) x4 –3x2+2=0
2) x4-13x2+36=0
3) x4-1=0
4) x4+ 4x2 =0
Solución.
Como es incompleta, .al igual que en las de segundo grado, sacamos factor común
x2(x2 +4) =0que tiene sólo la solución (doble) x =0
5) x4-9x2=0
6) 3x4 –5x2+2=0
7) x4+ x2+1=0
Ø Resolución de ecuaciones irracionales.
Ejemplo 9.
Se procede de la forma siguiente:
1) Se aísla la raíz:
2) Se elevan al cuadrado ambos miembros de la igualdad:
4(x-1)=(4-x)2 Þ 4x-4 = 16-8x +x2
3) Se resuelve a ecuación de 2º grado que resulta
x2-12x +20 =0 x =10 y x =2 (comprobarlo)
4) Se comprueban las soluciones
Si x =10
16 - 4= 0 Falso, no es solución
Si x =2
4 - 4=0 Cierto, si es solución.
Ejercicios
Resuelve las siguientes ecuaciones y comprueba las soluciones:
Solución.
Aislamos una de las raíces:
Elevamos al cuadrado (
Volvemos a aislar la raíz que nos queda
Elevamos al cuadrado
144(2x-1)=x2 +62x+961
288x -144 = x2 +62x +961
Es decir:
x2 –226x +1105 =0
Comprobamos las soluciones:
x =221 no es solución pues
x =5 sí es solución
3=3
Ecuaciones de grado superior a dos
Resolver las siguientes ecuaciones:
1) x3 –x2-x +1=0
Solución
Los divisores del término independiente son 1 y -
Luego :
x3 –x2-x +1 = (x-1)(x2-1)= (x-1)(x +1) (x-1) y las soluciones son: x =1 (doble) y x =-1
2) x4 –x3-16x2-20x = 0
3) x4-8x3+ 18x2-11x=0
4) x3-2x2-9x +18
5) x4-x3-11x2+ 9x+18=0
Sistemas de ecuaciones lineales
Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones de primer grado.
Ejemplo 10: es un sistema de 2 ecuaciones con dos incógnitas
Resolver un sistema es encontrar la solución (o soluciones) común a todas ellas, o concluir que el sistema no tiene solución.
Hay tres métodos algebraicos para resolverlos:
ü Sustitución
Ejemplo 11.
En la 2ª ecuación despejamos la y y la sustituimos en 1ª ecuación
y =3x; 2x +3(3x) =1Þ 11x =1
Þ x =1/11
Una vez encontrado el valor de una de las incógnitas se sustituye (y =3x) para encontrar el valor de la otra incógnita: y =3/11
Observación. Este método es muy adecuado cuando el coeficiente de, al menos, una de las incógnitas es 1.
ü Igualación
Ejemplo 12.
Despejamos la misma incógnita en las dos ecuaciones; y =3x.
Igualando Þ 1-2x =9x Þ 1= 11x Þ x =1/11
Ahora para obtener el valor de la y se procede como en el caso anterior, es decir se sustituye el valor hallado en la ecuación que más convenga ( en este caso en y =3x). y =3/11
Observación. Este método es muy adecuado cuando el coeficiente de una de las incógnitas es igual en las dos ecuaciones.
ü Reducción
Ejemplo 13.
Multiplicamos la 1ª ecuación por 2 y la 2ª por 3. (De esta forma el coeficiente de y en las dos ecuaciones es el mismo, el m.c.m.
Resulta: Þ
Sumando obtenemos 13 x =2 Þ
Sustituyendo el valor encontrado de x en la segunda ecuación:
y =3/13
Nota. A veces es más cómodo usar la reducción dos veces para encontrar el valor de la otra incógnita. (Ver ejercicio resuelto).
Ø 4º Método: Resolución gráfica.
Se dibujan en los mismos ejes las dos rectas, el punto de corte es la solución del sistema.
Ejercicios
Resuelve los siguientes sistemas por el método que creas más adecuado:
Solución
Para quitar los denominadores multiplicamos por 4 la 1ª ecuación Þ
Le resolvemos por reducción doble.
Multiplicamos la 2ª ecuación por –2 Þ
Sumando las dos ecuaciones obtenemos una equivalente: -3y = -12Þy =4
Para encontrar el valor de x, eliminamos la y, para ello multiplicando la 1ª por -2
sumando –3x= -12Þ x =4
Resuélvelo gráficamente
Resolución gráfica
Resuelve gráficamente los siguientes sistemas. compruébalo analíticamente.
Problemas de aplicación
1) Calcula dos número cuya suma sea 8 y su producto 12.
2) La suma de dos número es 65 y su diferencia 23. Halla los números
3) La diferencia de dos números es 1/6. El triple del mayor menos el doble del menor es 1. Halla dichos números.
Sistemas de ecuaciones de 2º grado
Son aquellos en que al menos una de las ecuaciones es de 2º grado. Veremos con un ejemplo como proceder para obtener las soluciones
Ejemplo 14. Sea el sistema
En la 2ª ecuación despejamos la y, y la sustituimos en la 1ª
y = 2x-4Þ 2x2+(2x –4)2=22
2x2 +4x2 –16x +16=22; 6x2-16x-6=0,
Simplificando por 2 obtenemos:3x2-8x-3=0, que es una ecuación de 2º grado completa:
=
También se pueden resolver gráficamente algunos sistemas de 2º grado
Ejercicios
Resuelve los siguientes sistemas y si es posible también gráficamente:
Solución
En este caso se puede resolver gráficamente. Lo haremos por tanto gráficamente como ejemplo.
La gráfica de la primera es una recta, de ecuación explícita; y =4-2x, que pasa por los puntos (0, 4) y (2, 0)
La gráfica de la segunda ecuación es una parábola.
El vértice está en el punto (0, 4) y dos puntos simétricos son los de corte con el eje de abscisas, (-2, 0) y (2, 0)
Las soluciones gráficas (0, 4) y (2, 0)
Comprobarlo resolviéndolo analíticamente.
Sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas,
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Método de Gauss
Está basado en el de reducción. Consiste en, mediante transformaciones elementales, llegar a otro escalonado de más fácil resolución.
Ejemplo 15. Resuelve el sistema
Multiplicamos la 1ª ecuación por 2 y se la restamos a la segunda:
Permutamos las ecuaciones 2ª y 3ª:
Multiplicamos la 1ª ecuación por 5 y se la sumamos a la 2ª:
que es un sistema escalonado.
Hasta aquí es el método de Gauss, ya se ha conseguido un sistema escalonado ahora para resolverlo se procede:
z =-11, de donde
4x = -46-14(-11)Þ x=54/2, la y la obtenemos sustituyendo estos dos valores en la ecuación 1ª ;
y =-9-54+33, y=-30.
La solución es: (54/2,-30,-11)
Ejercicios
Resuelve los siguientes sistemas
Estrategias para la resolución de Problemas.
Para resolver un problema es conveniente realizar cuatro fases[1]:
1ª. Comprender el problema.
Hay que leer el problema hasta familiarizarse con él y que podamos contestar, sin dudar, a las siguientes preguntas:
¿Cuáles son los datos? ¿cuál es la incógnita o incógnitas? ¿son las condiciones suficientes para determinar a las incógnitas? ¿son insuficientes?.. .
2ª Concebir un plan.
Determinar la relación entre los datos y la incógnitas.
De no encontrarse una relación inmediata puedes considerar problemas auxiliares.
¿Conoces problemas relacionados con éste?
¿Podrías plantear el problema de forma diferente?
¿Puedes cambiar la incógnita o los datos o ambos si fuera necesario, de tal forma que la nueva incógnita y datos estén en una relación más sencilla?...
¿Has considerado todas las nociones esenciales del problema?
.................
Obtener finalmente un plan de solución.
Para nuestro caso:
Escribir la ecuación o ecuaciones que relacionan datos e incógnitas y analizar el sistema que forman.
3ª. Ejecutar el plan.
Resuelve el sistema por los métodos estudiados.
4ª. Examinar la solución obtenida.
Comprobar si las soluciones obtenidas son válidas y proceder en consecuencia.
Problemas resueltos
1. Dos poblaciones A y B distan 25km. Un peatón sale de A hacia B a una velocidad de 4km/h. Simultáneamente sale de B hacia A otro peatón a 6km/h. Calcula el tiempo que tardan en encontrarse.
Solución
25km
El espacio que recorre el peatón que sale de A es: E = v A t =4.t
El espacio que recorre el peatón que sale de B es: E = v B t = 6t
Cuando se encuentran habrán recorrido entre ambos los 25km
Por lo tanto: 4t +6t =25
10 t = 25 Þ t = 2,5 horas
Tardan en encontrarse 2 horas y media
Se encuentran a las 12 horas 16 minutos 21 segundos
2. Para vallar una finca rectangular de 750m2 se han utilizado 110m de cerca. Calcular las dimensiones de la cerca.
Solución
Llamamos x a la base del rectángulo, e y la altura.
Como la superficie es el producto de la base por la altura, entonces x .y =750
El perímetro es la suma de los 4 lados:
2x +2y =110
Es decir tenemos el sistema De la primera ecuación se tiene y =750/x
Sustituyendo en la segunda:
Þ 2x2+1500 =110 x Þ 2x2-110x +1500=0
De donde
Nos da dos soluciones:
Si la base es x =30 Þ la altura es y = 750/30 =25
Si la base es x = 22,5 Þ la altura es y =750/22,5=100/3= 33,333..
Ambas válidas.
3. Un grupo de personas se reúne para ir de excursión, juntándose un total de 20 entre hombres, mujeres y niños. Contando hombres y mujeres juntos, su número resulta ser el triple del número de niños. Además, si hubiera acudido una mujer más, su número igualaría al de los hombres. ¿Cuántos hombres, mujeres y niños han ido de excursión.
Solución
Sean:hombres X mujeres y niños
Luego:
x + y + z = 20
x + y = 3z Es un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas.
x = y + 1
Se resuelve por reducción:
Restamos a la 1º ecuación la 2ª
z =20-3z Þ 4z = 20 Þ z =5 , sustituyendo en la 2ª nos queda:
x +y =15 que junto con la 3ª forman un sistema de dos ecuaciones:
x –y =1
Sumando nos queda 2x = 16 Þ x =8 , y =7
Resuélvelo por el método de Gauss
Problemas propuestos
1. Un tendero invierte 125 € en la compra de una partida de manzanas. Desecha 20kg por defectuosas y vende el resto aumentando 0,40 € cada kilo sobre el precio de compra, por 147 €. ¿Cuántos kilos compró?
2. El perímetro de un jardín rectangular es de 68 m. Si el lado mayor mide 10 m. más que el lado menor. ¿Cuánto miden los lados del jardín?
3. Halla dos números positivos cuya suma es 20 y la suma de sus cuadrados 250.
4. Un ciclista sale por una carretera a 15km / h. Media hora después sale otro en su persecución a una velocidad de 20km/h. ¿Cuánto tardarán en alcanzarse?
5. Tres empresas aportan 2, 3 y 5 millones de euros para la comercialización de un nuevo avión. A los cinco años reparten beneficios correspondiendo a la tercera 189000 € más que a la segunda. ¿Cuál fue la cantidad repartida?
6. En la primera prueba de una oposición queda eliminado el 70% de los participantes. En la segunda queda eliminado el 40% de los restantes. Si el número de personas que aprobaron los dos exámenes fue 36 ¿cuántas personas se presentaron a la oposición?
7. Calcula tres números sabiendo que son consecutivos y que su suma es igual al cuádruple del menor.
8. La base de un rectángulo es 10cm más larga que la altura. Su área mide 600m2. Calcular las dimensiones del rectángulo.
9. Dos números son tales que el mayor menos la raíz cuadrada del menor es 22 y la suma de los números es 34. ¿Cuáles son los números.
10. Una caja mide 5cm de altura y de ancho, cinco cm. más que de largo. Su volumen es 1500cm3. Calcular la longitud y la anchura.
Media Arítmetica
MEDIA ARITMETICA
a media aritmética es el valor obtenido al sumar todos los datos y dividir el resultado entre el número total de datos.
es el símbolo de la media aritmética.
Ejemplo
Los pesos de seis amigos son: 84, 91, 72, 68, 87 y 78 kg. Hallar el peso medio.
Media aritmética para datos agrupados
Si los datos vienen agrupados en una tabla de frecuencias, la expresión de la media es:
Ejercicio de media aritmética
En un test realizado a un grupo de 42 personas se han obtenido las puntuaciones que muestra la tabla. Calcula la puntuación media.
xi fi xi • fi
[10, 20) 15 1 15
[20, 30) 25 8 200
[30,40) 35 10 350
[40, 50) 45 9 405
[50, 60 55 8 440
[60,70) 65 4 260
[70, 80) 75 2 150
42 1 820
Propiedades de la media aritmética
1 La suma de las desviaciones de todas las puntuaciones de una distribución respecto a la media de la misma igual a cero.
Las suma de las desviaciones de los números 8, 3, 5, 12, 10 de su media aritmética 7.6 es igual a 0:
8 − 7.6 + 3 − 7.6 + 5 − 7.6 + 12 − 7.6 + 10 − 7.6 =
= 0. 4 − 4.6 − 2.6 + 4. 4 + 2. 4 = 0
2 La media aritmética de los cuadrados de las desviaciones de los valores de la variable con respecto a un número cualquiera se hace mínima cuando dicho número coincide con la media aritmética.
3 Si a todos los valores de la variable se les suma un mismo número, la media aritmética queda aumentada en dicho número.
4 Si todos los valores de la variable se multiplican por un mismo número la media aritmética queda multiplicada por dicho número.
Observaciones sobre la media aritmética
1 La media se puede hallar sólo para variables cuantitativas.
2 La media es independiente de las amplitudes de los intervalos.
3 La media es muy sensible a las puntuaciones extremas. Si tenemos una distribución con los siguientes pesos:
65 kg, 69kg , 65 kg, 72 kg, 66 kg, 75 kg, 70 kg, 110 kg.
La media es igual a 74 kg, que es una medida de centralización poco representativa de la distribución.
4 La media no se puede calcular si hay un intervalo con una amplitud indeterminada.
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EJERCICIOS DE LA MEDIA ARITMETICA
1.Considérense los siguientes datos: 3, 8, 4, 10, 6, 2. Se pide:
1. Calcular su media.
2. Si los todos los datos anteriores los multiplicamos por 3, cúal será la nueva media.
1
2
2. A un conjunto de 5 números cuya media es 7.31 se le añaden los números 4.47 y 10.15. ¿Cuál es la media del nuevo conjunto de números?
3. Calcular la media de una distribución estadística que viene dada por la siguiente tabla:
xi 61 64 67 70 73
fi 5 18 42 27 8
xi fi xi • fi
61 5 305
64 18 1152
67 42 2184
71 27 1890
73 8 584
100 6745
4. Hallar la media de la distribución estadística que viene dada por la siguiente tabla:
[10, 15) [15, 20) [20, 25) [25, 30) [30, 35)
fi 3 5 7 4 2
xi fi xi • fi
[10, 15) 12.5 3 37.5
[15, 20) 17.5 5 87.5
[20, 25) 22.5 7 157.5
[25, 30) 27.5 4 110
[30, 35) 32.5 2 65
21 457.5
5. Calcular la media de la distribución estadística:
[0, 5) [5, 10) [10, 15) [15, 20) [20, 25) [25, ∞)
fi 3 5 7 8 2 6
xi fi Fi
[0, 5) 2.5 3 3
[5, 10) 7.5 5 8
[10, 15) 12.5 7 15
[15, 20) 17.5 8 23
[20, 25) 22.5 2 25
[25, ∞) 6 31
31
No se puede calcular la media, porque no se puede hallar la marca de clase del último intervalo.
6. Los resultados al lanzar un dado 200 veces vienen dados por la siguiente tabla:
1 2 3 4 5 6
fi a 32 35 33 b 35
Determinar a y b sabiendo que la puntuación media es 3.6.
xi fi xi • fi
1 a a
2 32 64
3 35 125
4 33 132
5 b 5b
6 35 210
135 + a + b 511 + a + 5b
a = 29 b = 36
1. Hallar la desviación media de la series de números siguientes:
2, 3, 6, 8, 11.
12, 6, 7, 3, 15, 10, 18, 5.
2, 3, 6, 8, 11.
Media
Desviación media
12, 6, 7, 3, 15, 10, 18, 5.
Media
Desviación media
2.Calcular la desviación media de la distribución:
xi fi xi • fi |x - x| |x - x| • fi
[10, 15) 12.5 3 37.5 9.286 27.858
[15, 20) 17.5 5 87.5 4.286 21.43
[20, 25) 22.5 7 157.5 0.714 4.998
[25, 30) 27.5 4 110 5.714 22.856
[30, 35) 32.5 2 65 10.174 21.428
21 457.5 98.57
3.Calcular la desviación media de una distribución estadística que viene dada por la siguiente tabla:
[10, 15) [15, 20) [20, 25) [25, 30) [30, 35)
fi 3 5 7 4 2
xi fi |x − x | • fi
[10, 15) 12.5 3 27.857
[15, 20) 17.5 5 21.429
[20, 25) 22.5 7 5
[25, 30) 27.5 4 22.857
[30, 35) 32.5 2 21.429
21 98.571
Media
Desviación media
a media aritmética es el valor obtenido al sumar todos los datos y dividir el resultado entre el número total de datos.
es el símbolo de la media aritmética.
Ejemplo
Los pesos de seis amigos son: 84, 91, 72, 68, 87 y 78 kg. Hallar el peso medio.
Media aritmética para datos agrupados
Si los datos vienen agrupados en una tabla de frecuencias, la expresión de la media es:
Ejercicio de media aritmética
En un test realizado a un grupo de 42 personas se han obtenido las puntuaciones que muestra la tabla. Calcula la puntuación media.
xi fi xi • fi
[10, 20) 15 1 15
[20, 30) 25 8 200
[30,40) 35 10 350
[40, 50) 45 9 405
[50, 60 55 8 440
[60,70) 65 4 260
[70, 80) 75 2 150
42 1 820
Propiedades de la media aritmética
1 La suma de las desviaciones de todas las puntuaciones de una distribución respecto a la media de la misma igual a cero.
Las suma de las desviaciones de los números 8, 3, 5, 12, 10 de su media aritmética 7.6 es igual a 0:
8 − 7.6 + 3 − 7.6 + 5 − 7.6 + 12 − 7.6 + 10 − 7.6 =
= 0. 4 − 4.6 − 2.6 + 4. 4 + 2. 4 = 0
2 La media aritmética de los cuadrados de las desviaciones de los valores de la variable con respecto a un número cualquiera se hace mínima cuando dicho número coincide con la media aritmética.
3 Si a todos los valores de la variable se les suma un mismo número, la media aritmética queda aumentada en dicho número.
4 Si todos los valores de la variable se multiplican por un mismo número la media aritmética queda multiplicada por dicho número.
Observaciones sobre la media aritmética
1 La media se puede hallar sólo para variables cuantitativas.
2 La media es independiente de las amplitudes de los intervalos.
3 La media es muy sensible a las puntuaciones extremas. Si tenemos una distribución con los siguientes pesos:
65 kg, 69kg , 65 kg, 72 kg, 66 kg, 75 kg, 70 kg, 110 kg.
La media es igual a 74 kg, que es una medida de centralización poco representativa de la distribución.
4 La media no se puede calcular si hay un intervalo con una amplitud indeterminada.
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EJERCICIOS DE LA MEDIA ARITMETICA
1.Considérense los siguientes datos: 3, 8, 4, 10, 6, 2. Se pide:
1. Calcular su media.
2. Si los todos los datos anteriores los multiplicamos por 3, cúal será la nueva media.
1
2
2. A un conjunto de 5 números cuya media es 7.31 se le añaden los números 4.47 y 10.15. ¿Cuál es la media del nuevo conjunto de números?
3. Calcular la media de una distribución estadística que viene dada por la siguiente tabla:
xi 61 64 67 70 73
fi 5 18 42 27 8
xi fi xi • fi
61 5 305
64 18 1152
67 42 2184
71 27 1890
73 8 584
100 6745
4. Hallar la media de la distribución estadística que viene dada por la siguiente tabla:
[10, 15) [15, 20) [20, 25) [25, 30) [30, 35)
fi 3 5 7 4 2
xi fi xi • fi
[10, 15) 12.5 3 37.5
[15, 20) 17.5 5 87.5
[20, 25) 22.5 7 157.5
[25, 30) 27.5 4 110
[30, 35) 32.5 2 65
21 457.5
5. Calcular la media de la distribución estadística:
[0, 5) [5, 10) [10, 15) [15, 20) [20, 25) [25, ∞)
fi 3 5 7 8 2 6
xi fi Fi
[0, 5) 2.5 3 3
[5, 10) 7.5 5 8
[10, 15) 12.5 7 15
[15, 20) 17.5 8 23
[20, 25) 22.5 2 25
[25, ∞) 6 31
31
No se puede calcular la media, porque no se puede hallar la marca de clase del último intervalo.
6. Los resultados al lanzar un dado 200 veces vienen dados por la siguiente tabla:
1 2 3 4 5 6
fi a 32 35 33 b 35
Determinar a y b sabiendo que la puntuación media es 3.6.
xi fi xi • fi
1 a a
2 32 64
3 35 125
4 33 132
5 b 5b
6 35 210
135 + a + b 511 + a + 5b
a = 29 b = 36
1. Hallar la desviación media de la series de números siguientes:
2, 3, 6, 8, 11.
12, 6, 7, 3, 15, 10, 18, 5.
2, 3, 6, 8, 11.
Media
Desviación media
12, 6, 7, 3, 15, 10, 18, 5.
Media
Desviación media
2.Calcular la desviación media de la distribución:
xi fi xi • fi |x - x| |x - x| • fi
[10, 15) 12.5 3 37.5 9.286 27.858
[15, 20) 17.5 5 87.5 4.286 21.43
[20, 25) 22.5 7 157.5 0.714 4.998
[25, 30) 27.5 4 110 5.714 22.856
[30, 35) 32.5 2 65 10.174 21.428
21 457.5 98.57
3.Calcular la desviación media de una distribución estadística que viene dada por la siguiente tabla:
[10, 15) [15, 20) [20, 25) [25, 30) [30, 35)
fi 3 5 7 4 2
xi fi |x − x | • fi
[10, 15) 12.5 3 27.857
[15, 20) 17.5 5 21.429
[20, 25) 22.5 7 5
[25, 30) 27.5 4 22.857
[30, 35) 32.5 2 21.429
21 98.571
Media
Desviación media
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